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ich habe 54 a schon gelöst aber ab 54  b habe ich so meine Probleme ich danke euch schon im voraus für eure Antworten
Gruß
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Also die ganze 54:

bei a) musst du auch wieder ein paar Glieder ausrechnen und siehst:

an = 1 / 2n

Induktion:  n=1 ist wohl klar 1 / 2*1 =  1/2

wenn die Formel für n gilt, dann ist ja

an+1 = an^{-1} +2 ) ^{-1} = ((1/2n)^{-1} +2 ) ^{-1}

= ( 2n + 2)^{-1} = 1 / ( 2n+2) = 1 / ( 2*(n+1))

Also gilt die Formel auch für n+1 .

b) Damit    |an| < ε  gilt muss also   1 / 2n < ε sein  (Betrag spielt keine Rolle, da alles positiv.

also 1 < 2n ε   also   1 / 2 ε  <  n

Also: wenn n >   1 / 2 ε    dann ist   |an| < ε    also gilt dann | an - 0 |  < ε

und das ist die Grenzwertdef. für den Grenzwert 0.

c) Wie in b) gezeigt ist der Grenzwert 0, kann man aber auch so einsehen:
Der Zähler ist immer konstant 1 und der Nenner 2n wird beliebig groß. Also GW=0
d) Diese Folge bn = an + q*(n+1)^{-1}   ist st. mon. fallend, wenn
bn - bn+1 > 0 für alle n gilt.
bn - bn+1 =  an + q*(n+1)^{-1} - (  an+1 + q*(n+2)^{-1} )   wegen a) ist das:
                = (1/2n)  + q*(n+1)^{-1} - (  1/(2n+2)   + q*(n+2)^{-1} )
             = (1/2n) -   1/(2n+2)   + q/(n+1)  - q/(n+2)
            =  1 / ( 2 * n * (n+1) )  + q / (( n+1)*(n+2) )
            = (n+2   +    2*n*q ) /  (2 * n* (n+1) * (n+2) )
Damit das größer Null ist, muss
n+2+2nq > 0 sein. Damit dies für alle n der Fall ist muss q ≥ 0 sein.
von 172 k

Oh bitte, wir duzen uns hier.

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