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Stimmt der folgende Beweis?

Beweis, dass \(\left(\frac{(-1)^n}{\sqrt{n}}\right)_{n\geq 1}\) eine Nullfolge ist.

Da in der Vorlesung gezeigt wurde, dass \(\frac{1}{n}\) eine Nullfolge ist, habe ich so umgeformt:

Für alle  \(n \in \mathbb{N}\) gilt \(\left\lvert\frac{(-1)^n}{\sqrt n}\right\rvert=\frac1{\sqrt n}\). Dann ist \(\lim\limits_{n\to\infty}\frac{1}{\sqrt{n}}=\left[\lim\limits_{n\to\infty}\left(\frac{1}{n}\right) \right]^{\frac{1}{2}}=0^{\frac{1}{2}}=0\).

Wie würde man das mit der Epsilontik machen?

Definition:

Für jedes \(\varepsilon >0\) exisitiert ein \(N\in \mathbb{N}\) derat, dass \(|z_n-z|< \varepsilon\) für \(n\geq N\), d. h. \(z_n \in B_\varepsilon(z)\) für alle \(n\geq N\).

Ich komme hier ab \(\left\lvert\frac{(-1)^n}{\sqrt n}\right\rvert= \frac1{\sqrt n}< \varepsilon\) nicht mehr weiter...

von 15 k

Hi!

Als Tipp vom Tutor kam: "Ihr könnt bei dieser Aufgabe alle anderen Aufgaben verwenden,
die ihr auf diesem Blatt zeigen müsst - insbesondere Aufgabe 2 kann euch weiterhelfen."

Danach könntest du die Aussage 2iii als bewiesen voraussetzen. Dann könntest du die Folge in zwei folgen aufteilen $$(-1)^n$$ und diese Folge ist nach Bemerkung 7.7. 2. beschränkt. jetzt musst du nur noch zeigen, dass die Folge $$\frac{1}{\sqrt{n}}$$ eine Nullfolge ist.

Ich habe das via Epsilon-Delta-Kriterium gemacht und zum Erfolg gelangt. Hier kann man ja noch leicht umstellen, aber bei Ausdrücken wie \(\left(\frac{n!}{n^n}\right)_n\) hört das ganze auch wieder auf, habe hier in die Produktschreibweise umgeschrieben...$$\frac{n!}{n^n}=\frac{\prod_{k=1}^nk}{\prod_{k=1}^nn}=\prod_{k=1}^n\frac kn=\frac1n\cdot \prod_{k=2}^n\frac kn$$

Aber reicht meins nicht auch bereits? Ich meine 1/n ist eine Nullfolge und es gilt \(\frac1n\cdot \prod_{k=2}^n\frac kn\le \frac1n\)

$$\left(\frac{1}{n^2}+\frac{2}{n^2}+ ... +\frac{n}{n^2}\right)_{n\ge1}$$ kannst du auch schreiben als

$$\left(\frac{1+2+3+4+...+n}{n^2}\right)_{n\ge1}$$ der Zähler ist $$\sum_{k=1}^{n}{k}=\frac{n(n+1)}{2}$$ im Skript Beispiel 3.9.

Dann kannst du schreiben $$ \left(\frac{\frac{n(n+1)}{2}}{n^2}\right)_{n\ge1}$$

Ich bin müde aber wenn ich jetzt nicht völlig daneben bin sollte das jetzt $$\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{2n}\right)_{n\ge1}$$ gegen $$\frac{1}{2}$$ konvergieren.

Yeah, stimmt — danke. LG

Zu deinem vorherigen Kommentar: nach Definition 7.5. im Skript ist n! nicht beschränkt. Also kannst du 2 iii) nicht anwenden. Jetzt muss ich ins Bett.

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Hallo

 1/√n<ε wenn 1/n<ε^2 oder n>=N=[1/ε^2]

 Man rechnet  N(ε) meist einfach aus während du erst beweisen müsstest dass man lim und Wurzel einfach so vertauschen darf. Dein Beweis ist also nicht gut.

Gruß lul

von 26 k

Aber das Quadrieren ist doch keine Äquivalenzumformung, oder?

Hallo

 sowohl n, wie ε, wie √n sind >0, also  kann man jeden Schritt auch rückwärts gehen,  (muss man aber nicht können) du fängst ja an mit sei ε beliebig >0 usw. für positive Zahlen ist alles ok. (du kannst ja auch mit ε1=ε^2>0 anfangen.)

Gruß lul

Ah, stimmt. Ja gut.

Also kann ich sagen, dass für \(n>\frac{1}{\varepsilon ^2}=N\) nun \(\bigg |\frac{(-1)^n}{\sqrt{n}} \bigg | < \varepsilon\) gilt? Und warum?

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