Rechnung mit zwei Bijektionen a,b der Menge M ={1,2,3,4,5}

Question

Berechnen Sie $a^{2}=a \circ a, a \circ b, b \circ a$ und $b^{2}=b \circ b$.

$a=\left(\begin{array}{lllll} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ 3 & 4 & 5 & 1 & 2 \end{array}\right), \quad b=\left(\begin{array}{lllll} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ 5 & 4 & 3 & 2 & 1 \end{array}\right)$

Die Lösung ist vorhanden nur verstehe ich nicht den Weg dahin.

Lösung:

$a \circ a=\left(\begin{array}{lllll}1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ 3 & 4 & 5 & 1 & 2\end{array}\right) \circ\left(\begin{array}{lllll}1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ 3 & 4 & 5 & 1 & 2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccccc}1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ 5 & 1 & 2 & 3 & 4\end{array}\right)$,
$a \circ b=\left(\begin{array}{lllll}1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ 3 & 4 & 5 & 1 & 2\end{array}\right) \circ\left(\begin{array}{lllll}1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ 5 & 4 & 3 & 2 & 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{lllll}1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ 2 & 1 & 5 & 4 & 3\end{array}\right)$,
$b \circ a=\left(\begin{array}{lllll}1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ 5 & 4 & 3 & 2 & 1\end{array}\right) \circ\left(\begin{array}{lllll}1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ 3 & 4 & 5 & 1 & 2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{lllll}1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ 3 & 2 & 1 & 5 & 4\end{array}\right)$,
$b \circ b=\left(\begin{array}{lllll}1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ 5 & 4 & 3 & 2 & 1\end{array}\right) \circ\left(\begin{array}{lllll}1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ 5 & 4 & 3 & 2 & 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccccc}1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ 1 & 2 & 3 & 4 & 5\end{array}\right)$.

Answer 1

also zuallerst was bedeutet die Schreibweise: Wir haben eine Abbildung $a: M \to M$ einer 5-elementigen Menge $M = \{1,2,3,4,5\}$. Die untere Zeile beschreibt hierbei, worauf ein Element abgebildet wird.

Es gilt also : $a(1) = 3, a(2) = 4, a(3) = 5$ usw. 

Der Kringel $\circ$ bedeutet Komposition von Abbildung, d.h. das hintereinander ausführen von zwei Abbildungen.

Beispiel: $a \circ a(1) = a(a(1))= a(3) = 5$. Also wird die $1$ bei der doppelten Ausführung von $a$ auf die $5$ abgebildet. 

Gruß