Wie zeige ich, dass jede Geradenfunktion überall stetig ist?

Question

Also ich habe eine Geradenfunktion

g: R->R

g(x):= mx+b

Jetzt soll ich zeigen, dass diese überall stetig ist.

Ich weiß anschaulich, dass dies der Fall ist, da es keine "Sprünge" gibt. Und ich kenne die Definition der Stetigkeit mit:

Für alle Epsilon >0 gibt es ein Gamma > 0 sodass für alle x aus Z Ix-x0I < Gamma.

So nun weiß ich aber nicht weiter, wie ich die Stetigkeit mit der Geradenfunktion zeigen kann?

vielen Dank, für eure Hilfe!

Answer 1

Normalerweise ist das keine besonders effiziente Methode, aber hier kannst du einfach zu gegebenem Epsilon das Gamma ausrechnen. Wenn bei dieser Rechnung keine Probleme auftreten, dann hast du ja gezeigt, das für alle Epsilon ein Gamma existiert!

Nehmen wir also an, wir hätten ein beliebiges ε>0 und würden dazu das γ>0 suchen.
Für die Stetigkeit soll aus |x-x₀|<γ sofort |f(x)-f(x₀)| <ε folgen.

Nehmen wir also an, dass die zweite Aussage gilt und versuchen ein γ zu finden, sodass auch die erste Aussage gilt:

|mx + b - (mx₀ + b)| < ε

|m(x-x₀)| < ε   |:|m|

|x-x₀| < ε/|m|

Wenn wir also γ = ε/|m| wählen, dann folgt daraus |f(x)-f(x₀)| < ε.

Also ist die Funktion unabhängig von m und b stetig!