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Aufgabe:

Geben Sie ohne Beweis an, ob die folgenden Aussagen richtig oder falsch sind.

i) \( \left(a_{n}\right) \) sei eine Folge reeller Zahlen.

1) \( a_{n} \) ist konvergent \( \Longleftrightarrow a_{n} \) ist monoton und beschränkt

2) \( a_{n} \) hat einen Häufungspunkt \( \Longleftrightarrow a_{n} \) ist beschränkt

3) \( a_{n} \) ist monoton und beschränkt \( \Longleftrightarrow a_{n} \) hat (mindestens) einen Häufungspunkt

4) \( \alpha_{n} \) ist konvergent \( \Longleftrightarrow \) es gibt \( a \in \mathbb{R} \) und \( k \in \mathbb{N} \), sodass für alle \( \varepsilon>0 \) ein \( N_{0} \) existiert mit der Eigenschaft, dass gilt

\( \left|a_{n}-a\right|<\varepsilon \) für alle \( n \in \mathbb{N} \)

mit \( n \geq N_{0}+k \)

ii) Für \( \alpha \in \mathbb{R} \) betrachte man die unendliche Reihe \( \sum \limits_{n=1}^{\infty}(-1)^{n} n^{\alpha} \). Die Reihe ist konvergent:

1) genau dann, wenn \( \alpha<0 \).


Ansatz/Problem:

Ich befinde mich in der Klausurvorbereitung zur Analysis 1. Habe dazu eine Aufgabe und würde gerne wissen, ob ich mit meinen Vermutungen richtig liege, da ich keine Lösungen besitze:

(1) richtig, Jede monotone, beschränkte Folge ist konvergent - soweit ich weiß, gilt hier die Umkehrung. Wenn da nur beschränkt und nicht monoton gestanden hätte, dann wäre die Äquivalenz nicht gegeben.

(2) falsch, eine beschränkte Folge kann auch mehr als einen Häufungswert haben

(3) richtig, denn eine Folge, die mindestens einen Häufungswert hat, konvergiert und eine solche Folge ist monoton und beschränkt, andersrum ebenso.

(4) falsch, hierbei stört mich das k. Ich kenne die Definition nur ohne k und denke, dass das seinen berechtigten Grund hat, warum in der üblichen Def. keines steht

(5) richtig, denn setzte ich a<0, habe ich damit eine alternierende Nullfolge entwickelt und nach dem Leibnizkriterium ist diese Folge dann nicht absolut konvergent, aber konvergent

von

1 Antwort

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(1) richtig, Jede monotone, beschränkte Folge ist konvergent -
Das ist richtig, aber die Umkehrung gilt NICHT:
z.B.   (-1)^n * 1/n ist konvergent aber nicht monoton.
Also insgesamt falsch.

(2) falsch, eine beschränkte Folge kann auch mehr als einen Häufungswert haben  ???

besser vielleicht Gegenbeispiel

an = n+n*(-1)^n   hat Hüufungspunkt 0 ist aber nicht beschränkt.

(3) richtig, denn eine Folge, die mindestens einen Häufungswert hat, konvergiert
Das stimmt nicht. Gegenbeispiel s.o.
 und eine solche Folge ist monoton und beschränkt, andersrum ebenso.

(4) falsch, hierbei stört mich das k.
Das k stört nicht, wenn es nur für alle n > No+k gilt, dann ist dieses No+k eben das
"richtige" No aus der einfachen Definition.
 Ich kenne die Definition nur ohne k und denke, dass das seinen berechtigten Grund hat, warum in der üblichen Def. keines steht

(5) ist ok.
von 259 k 🚀
(5) ist ok.

Die Antwort ja, aber nicht die Begründung

Vielen für die schnelle Antwort. Da hakt es wohl noch etwas mit dem Verständnis bei mir.

Warum ist meine Begründung bei der (5) denn nicht in Ordnung?

weil "genau dann wenn" immer eine Hin- und eine Rückrichtung hat

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