Beschränktheit, Häufungspunkte, Konvergenz einer parameterabhängigen Folge bestimmen

Question

ich bräuchte Hilfe bei folgender Aufgabe:

Gegeben ist die vom reellen Parameter β≠ -1/4 abhängige Folge (a_n)_n∈N  durch 

a₁ =1    und     a_n+1 = (2+3β)* a_n /(1+4β) 

a) Für welche β ist die Folge (a_n)_n∈N  beschränkt?

b)Bestimmen Sie die Häufungspunkte der Folge (a_n)_n∈N  in Abhängigkeit von β.

c)Für welche β konvergiert die Folge (a_n)_n∈N ? Bestimmen Sie diesenfalls den Grenzwert.

Mein Lösungsansatz:

Zuerst habe ich ein paar Folgenglieder berechnet:

(a_n)= (1; 3*(β+2/3)/4*(β+1/4); 9*((β+2/3)²)/16*((β+1/4)²); 27*((β+2/3)³)/64*((β+1/4)³);

           81*((β+2/3)⁴)/256*((β+1/4)⁴); 243*((β+2/3)⁵)/1024*((β+1/4)⁵); ...)

Danach habe ich für β verschiedene Werte eingesetzt, um konkrete Lösungen zu erhalten. Ich weiß, dass für β=-2/3 oder β=1 die Folge beschränkt wird, jedoch weiß ich nicht, wie ich alle Ergebnisse erfassen kann. Bei Häufungspunkte und Konvergenz, weiß ich nicht weiter.

            

Answer 1

Das ist doch nur eine geometrische Folge $$a_n=q^{n-1}\quad\text{mit}\quad q=\frac{2+3\beta}{1+4\beta}.$$ Man muss bloss die Faelle $|q|<1$, $q=\pm1$ und $|q|>1$ unterscheiden.

Comments

Danke, für die Antwort. 

Bedeutet das, dass für die Beschränktheit dieses Ergebnis herauskommt?:

{β ∈ ℝ | β≥ 1, β≤-3/7}

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f₁(x) = (2+3·x)/(1+4·x)f₂(x) = 1f₃(x) = -1