Parametrisieren des Einheitskreises und z.B. (Integral von S1)(-xdx + ydy)

Question

Aufgabe:

Es sei \( S^{1}=\left\{\left(\begin{array}{l}x \\ y\end{array}\right) \in \mathbb{R}^{2}: x^{2}+y^{2}=1\right\} \) der Einheitskreis in \( \mathbb{R}^{2} \).

(a) Parametrisieren Sie \( S^{1} \).

(b) Berechnen Sie \( \int \limits_{S^{1}}(-x d x+y d y) \).

(c) Berechnen Sie \( \int \limits_{S^{1}}(-y d x+x d y) \).

Ansatz/Problem:

Bei (a) fiel mir ein, dass 2-dimensionale Parametrisierung im Allg. (r*cos(t), r*sin(t)) so aussehen muss. Der Radius ist ja 1, aber wegen dieser t hatte ich Problem, weil ich leider vergessen habe, wofür die t stand...

Bei (b) habe ich -xdx und ydy getrennt betrachtet. Also, dass es so aussieht:

(Integral von S1)(-xdx) + (Integral von S1)(ydy) Dann halt aufleiten.. Aber danach wusste ich wieder leider nicht mehr, wie man vorgehen muss.

Bei (c) sieht es ja ähnlich aus wie (b), nur y nach x aufgeleitet und andersherum...

Comments

t steht für den Winkel, üblicherweise in Bogenmass:

S1 = {(x, y) E R² : x² + y² = 1} = { (x,y) E R^2 | (x, y) = (cos(t), sin(t)) , t E [0, 2π] } 

Answer 1

$$ \int_S\,x \,dt $$

$$x=r \cdot cos(t)$$

$$ \int_0^{2\pi}\,r \cdot cos(t) \,dt $$

dx bezieht sich auf S

dt bezieht sich auf 0 bis pi

r=1 ist richtig - wollte es aber nicht komplett unter den Tisch fallen lassen, weil es vielleicht mal doch noch gebraucht wird bzw. die Gleichung nicht mehr allgemein verwendbar wäre.