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Aufgabe:

Einer Kugel mit dem Radius r = 9 cm soll ein Zylinder einbeschrieben werden, dessen Inhalt ein Viertel des Kugelinhaltes beträgt.

Welche Höhe h und welchen Radius R hat der Zylinder? (2 Dezimalen)


Unser Thema ist im moment Näherungsweise Berechnung von Nullstellen, aber wie kann man das da anwenden?

von

2 Antworten

0 Daumen

Hi,

ich versuch mich mal ;).

Das Volumen der Kugel bei R=9cm:
VK=(4/3)πr3
VK=(4/3)π*93 -> VK=3053,63 cm3

Volumen des Zylinders:
VZ=R2πh
VZ= (1/4)*VK -> VZ=763,41 cm3

 

Nun bedenke (oder mach Dir eine Skizze), dass die Kugel als Kreis und der Zylinder las einbeschriebene Rechteck angesehen werden kann, dessen Länge gleich die Höhe und dessen Breite der Durchmesser des Zylinders ist.

Also:

h/2 = √(r2-R2)

Das nun in das Volumen des Zylinders einsetzen:

763.41 = 2R2π√(r2-R2)

763.412 = 4R4π2(r2-R2)

Ausklammern und alles auf eine Seite bringen:

-4π2R6 + 4r2π2R4 - 763.412 = 0

Dies nun mittels Näherungsverfahren (Newton etc) lösen:

R1,2=±8,87; R3,4=±3,87 (R5,6 sind nicht reell)

 

Uns interessieren nur die Lösungen R1=8,87 und R2=3,87 (negative Radien gibts nicht).

Damit kann man dann auch h berechnen:

h1=763,41/(πR12)=3,09

h2=16,23

 

Die Lösungen sind also:

R1=8,87 cm und h1=3,09 cm
sowie
R2=3,87 cm und h2=16,23 cm

 

Grüße
 

von 139 k 🚀
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Betrachten wir zunächst den Querschnitt, um die Abhängigkeit von h und r zu untersuchen:

Daran erkennt man mit dem Satz des Pythagoras:

R^2+(h/2)^2 = r^2

R^2 + h^2/4 = r^2

R^2 = r^2-h^2/4

Für das Volumen des Zylinders gilt:

VZ = πhR^2

Für das Volumen der Kugel:

VK = 4/3 π r^3

Nun soll VZ = VK/4 gelten:

πhR^2 = 1/3 π r^3

hR^2 = 1/3 r^3

Setzt man nun das ermittelte Verhältnis für R^2 ein:

h(r^2-h^2/4) = 1/3 r^3

h^3/4 - hr^2 + 1/3 r^3 = 0

Nun setzt man den Radius r = 9cm ein:

h^3/4 - 81h + 243 = 0

Die Lösungen kann man nun mit einem der gängigen Verfahren (z.B. Newton-Verfahren) bestimmen:

h1 ≈ -19.3454
h2 ≈ 3.0911
h3 ≈ 16.2542

wobei man die erste Lösung noch streichen kann, weil Längen stets positiv sein sollten.

von 10 k

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