Wie viel Meter muss man für die Seitenlängen wählen? (Abgrenzung rechteckige Fläche, Flächenmaximierung)

Question

Aufgabe Flächenmaximierung:

An der Südseite einer Wand soll eine rechteckige Fläche abgegrenzt werden, um alte Monitore zu lagern. Es stehen 16 m Absperrung zur Verfügung. Der Flächeninhalt der Abstellfläche soll möglichst groß werden.

a) Wie viel Meter muss man für die Seitenlängen wählen?

b) Welches ist der größte Flächeninhalt?

Answer 1

Du hast bei solchen Aufgaben eine Hauptbedingung und eine Nebenbedingung.

Hier:

Hauptbedingung:

I. f(a) = a * b | Diese Fläche soll maximiert werden.

Nebenbedingung:

a + 2b = 16 | a ist die untere (gestrichelte) Seite des Rechtecks, b die (gestrichelten) Seiten rechts und links; die Absperrung ist 16m lang.

also

2b = 16 - a

bzw.

II. b = 8 - a/2

Jetzt setzt Du die Nebenbedingung in die Hauptbedingung ein und erhältst:

f(a) = a * (8 - a/2) = 8a - a²/2

Nun die 1. und 2. Ableitung der Funktion bilden. Für ein Maximum muss f'(a) = 0 sein und f''(a) < 0.

Wenn Du dann das a für das Maximum gefunden hast, kannst Du die maximale Fläche leicht berechnen.

Probierst Du das bitte einmal selbst?

Besten Gruß

Comments

Vielen dank erstmal das mit der neben und hauptbedieung versteh ich schonmal.
Aber was muss ich dann mit " f(a) = a * (8 - a/2) = 8a - a²/2 " machen?
und warum kommt nach f(a)=a*(8-a/2) nochmal das gleiche ohne klammern und hoch2?
Ich blick da noch nicht ganz durch....

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O.k., wir haben also die Funktion

f(a) = 8a - a²/2 = -a²/2 + 8a

Dann ist

f'(a) = -2a/2 + 8 = -a + 8

und

f''(a) = -1

Notwendige Bedingung für ein Maximum an der Stelle a:

f'(a) = -a + 8 = 0

a = 8

Hinreichende Bedingung für ein Maximum an der Stelle a = 8:

f''(8) = -1 < 0, also liegt an der Stelle a = 8 tatsächlich ein Maximum vor.

Da b = 8 - a/2 ist, ist b = 4

Die Länge der Absperrung beträgt damit

a + 2 * b = 8m + 2 * 4m = 16m

Das maximale Rechteck hat eine Fläche von

8m * 4m = 32m²

Etwas klarer?

:-)