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Aufgabe Flächenmaximierung:

An der Südseite einer Wand soll eine rechteckige Fläche abgegrenzt werden, um alte Monitore zu lagern. Es stehen 16 m Absperrung zur Verfügung. Der Flächeninhalt der Abstellfläche soll möglichst groß werden.

a) Wie viel Meter muss man für die Seitenlängen wählen?

b) Welches ist der größte Flächeninhalt?

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von

1 Antwort

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Du hast bei solchen Aufgaben eine Hauptbedingung und eine Nebenbedingung.

Hier:

Hauptbedingung:

I. f(a) = a * b | Diese Fläche soll maximiert werden.

Nebenbedingung:

a + 2b = 16 | a ist die untere (gestrichelte) Seite des Rechtecks, b die (gestrichelten) Seiten rechts und links; die Absperrung ist 16m lang.

also

2b = 16 - a

bzw.

II. b = 8 - a/2


Jetzt setzt Du die Nebenbedingung in die Hauptbedingung ein und erhältst:

f(a) = a * (8 - a/2) = 8a - a2/2

Nun die 1. und 2. Ableitung der Funktion bilden. Für ein Maximum muss f'(a) = 0 sein und f''(a) < 0.

Wenn Du dann das a für das Maximum gefunden hast, kannst Du die maximale Fläche leicht berechnen.


Probierst Du das bitte einmal selbst?


Besten Gruß

von 32 k
Vielen dank erstmal das mit der neben und hauptbedieung versteh ich schonmal.
Aber was muss ich dann mit " f(a) = a * (8 - a/2) = 8a - a2/2 " machen?
und warum kommt nach f(a)=a*(8-a/2) nochmal das gleiche ohne klammern und hoch2?
Ich blick da noch nicht ganz durch....

O.k., wir haben also die Funktion

f(a) = 8a - a2/2 = -a2/2 + 8a

Dann ist

f'(a) = -2a/2 + 8 = -a + 8

und

f''(a) = -1

Notwendige Bedingung für ein Maximum an der Stelle a:

f'(a) = -a + 8 = 0

a = 8

Hinreichende Bedingung für ein Maximum an der Stelle a = 8:

f''(8) = -1 < 0, also liegt an der Stelle a = 8 tatsächlich ein Maximum vor.

Da b = 8 - a/2 ist, ist b = 4


Die Länge der Absperrung beträgt damit

a + 2 * b = 8m + 2 * 4m = 16m

Das maximale Rechteck hat eine Fläche von

8m * 4m = 32m2


Etwas klarer?

:-)

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