Wie lautet die Matrix, die eine Drehung um π/2 in der Ebene beschreibt?

Question

Aufgabe:

Die Vektoren $\dot{v}_{1}=\left(\begin{array}{lll}2 & -2 & 3\end{array}\right)^{T}$ und $\dot{v}_{2}=\left(\begin{array}{lll}-1 & -4 & 1\end{array}\right)^{T}$ spannen eine Ebene durch den Koordinatenursprung auf.

Wie lautet die Matrix, die eine Drehung um $\frac{\pi}{2}$ in dieser Ebene beschreibt?

Da die Drehrichtung nicht eindeutig festgelegt wurde, gibt es 2 Lösungen. Bitte geben Sie beide an.

Die Drehachse ergibt sich durch $\dot{w}=\vec{v}_{1} \times \vec{v}_{2}=\left(\begin{array}{c}2 \\ -2 \\ 3\end{array}\right) \times\left(\begin{array}{c}-1 \\ -4 \\ 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}10 \\ -5 \\ -10\end{array}\right)$ und

$d=\frac{1}{\|\vec{w}\|} \vec{w}=\frac{1}{\sqrt{225}}\left(\begin{array}{c}10 \\ -5 \\ -10\end{array}\right)=\frac{1}{15}\left(\begin{array}{c}10 \\ -5 \\ -10\end{array}\right)=\frac{1}{3}\left(\begin{array}{c}2 \\ -1 \\ -2\end{array}\right)$.

Damit ist $\vec{d} \cdot d^{T}=\frac{1}{9}\left(\begin{array}{ccc}4 & -2 & -4 \\ -2 & 1 & 2 \\ -4 & 2 & 4\end{array}\right)$ und

$\mathbf{D}_{*}=\frac{1}{3}\left(\begin{array}{ccc}0 & 2 & -1 \\ -2 & 0 & -2 \\ 1 & 2 & 0\end{array}\right)$

Für $\varphi=\frac{\pi}{2}$ ist $\sin \varphi=1, \cos \varphi=0$. Es ergibt sich die Rotationsmatrix

$\mathbf{R}_{\varphi}^{ \vec{d} }=d d^{r}+\mathbf{D}^{\prime}=\frac{1}{9}\left(\left(\begin{array}{ccc}4 & -2 & -4 \\ -2 & 1 & 2 \\ -4 & 2 & 4\end{array}\right)+\left(\begin{array}{ccc}0 & 6 & -3 \\ -6 & 0 & -6 \\ 3 & 6 & 0\end{array}\right)\right)=\frac{1}{9}\left(\begin{array}{ccc}4 & 4 & -7 \\ -8 & 1 & -4 \\ -1 & 8 & 4\end{array}\right)$

Da die Richtung der Drehachse nicht festgelegt war, könnte die Drehung auch in die umgekehrte Richtung erfolgen, d.h. entlang der Achse $-\vec{d}$ oder mit einem Winkel von $\varphi=-\frac{\pi}{2}$, In beiden Fallen ergibt sich die zweite Lösung:

$\mathbf{R}_{-\rho}^{ \vec{d} }=\mathbf{R}_{\varphi}^{-\vec{d} } = \left(\mathbf{R}_{\rho}^{ \vec{d} } \right)^{T}=\mathbf{D}-\mathbf{D}^{\prime}=\frac{1}{9}\left(\left(\begin{array}{ccc}4 & -2 & -4 \\ -2 & 1 & 2 \\ -4 & 2 & 4\end{array}\right)-\left(\begin{array}{ccc}0 & 6 & -3 \\ -6 & 0 & -6 \\ 3 & 6 & 0\end{array}\right)\right)=\frac{1}{9}\left(\begin{array}{ccc}4 & -8 & -1 \\ 4 & 1 & 8 \\ -7 & -4 & 4\end{array}\right)$

Answer 1

Probiere die Lösung nicht in eins zu sehen und zu sagen ich kapier alles nicht. Versuche die Lösung Zeile für Zeile durchzugehen. Versuche jede Zeile zunächst einzeln zu verstehen bevor du dich bemühst den Zusammenhang zu verstehen. Erkläre dann welchen Schritt du genau nicht verstehst. Also bei welcher Zeile es mit dem Verständnis Schwierigkeiten gibt.

Also Warum ergibt sich die Drehachse aus dem Kreuzprodukt der beiden Richtungsvektoren. Kannst du das erklären. Dann hast du bereits den ersten Schritt verstanden und du kannst dich an den nächsten machen. Wenn nicht solltest du überlegen was das Kreuzprodukt geometrisch bedeutet. Eventuell helfen dabei Unterrichtsnotizen und Erklärungen im Buch. Wenn du es wirklich nicht weißt, dann kannst du gerne nochmals nachfragen.

Comments

Ich verstehe nicht wie man das Dx wie oben auf den bild berechnet und die Rotationsmatrix versteh ich genauso wenig :/ gibt es irgendwo ein Tutorial für ?

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Du findest etliche Hilfestellungen im Netz. Schau mal unter

http://www.grundstudium.info/animation/node14.php