Wahrscheinlichkeiten, wenn X gleichverteilt auf [0,2π] und U:= cos X, V:= sin X?

Question

ich kann leider eine Aufgabe nicht lösen, die folgendermaßen lautet:

Es seien X gleichverteilt auf [0,2π] und U := cos X, V := sin X. Man berechne:

(a) P( -x ≤ U ≤ x ), x ∈ [0,1]

(b) P((U-1)² + V² ≤ r²), r ≥ 0

(c) P(|U| ≤ |V|).

Ich wäre euch dankbar, wenn ihr mir helfen würdet. :)

Comments

Spontan fallen mir zwei verschiedene Möglichkeiten ein:

1. https://de.wikipedia.org/wiki/Transformationssatz benutzen, um von der Dichte von X auf die Dichten von U und V zu kommen.

2. Schau dir die Terme genau an: \( P(-x \leqslant U \leqslant x) = P(-x \leqslant \sin(X) \leqslant x) \)

Anwenden der Umkehrfunktion von Sinus auf allen Seiten der Ungleichung und dann die Wahrscheinlichkeiten bestimmen müsste eigentlich das richtige Ergebnis liefern. Im Prinzip ist das ja das selbe wie ich bei 1. vorschlug nur eben direkt. Bei den anderen Sachen kannst du analog vorgehen. Musst allerdings bei so Aufgaben bzw. allgemein, wenn du Umkehrfunktionen benutzt, auf die Definitionsbereiche aufpassen! Siehe auch https://de.wikipedia.org/wiki/Arkussinus_und_Arkuskosinus

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ich hoffe ihr könnte meinen Kommentar hier auch sehen. Ich habe gerade die gleiche Aufgabe und verstehe sie leider immer noch nicht

Also ich habe schon verstanden, dass

-x ≤ cos X ≤x gelten muss. Das kann man umformen zu

1/cos(-x) ≤ 1 ≤ 1/cos(x)

 Doch wie kann ich damit dann P( -x ≤ U ≤ x ), x ∈ [0,1]  berechnen?

Sorry ich steh wahrscheinlich gerade voll auf dem Schlauch.

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Anbei findest du eine ausführliche Lösung, ich hoffe du wirst zufrieden sein :)