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Die Funktion K lautet f(x)= cos (x) + sin (x) + √2

1. Eine Parabel 2.Ordnung soll symmetrisch sein zur Geraden x= π/4 und den K in x= 3/4 π berühren. Wie lautet die Gleichung der Parabel?

2. f lässt sich als f(x)= a cos (b(x-c))+d schreiben   (-> warum?? bzw. wie kommt man darauf?)
Bestimmen Sie a,b,c,d sowie Periode und Amplitude von f

Kann mir jemand den Rechenweg zeigen?
LG

von

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1. Eine Parabel 2.Ordnung soll symmetrisch sein zur Geraden x= π/4 und den K in x= 3/4 π berühren. Wie lautet die Gleichung der Parabel?


Die Funktion K lautet f(x)= cos (x) + sin (x) + √2
f(3/4 π) = √2    Also Berührpunkt (3/4 π   /  √2)
"berührt" heißt: Es muss auch f ' (3/4 π) = Steigung der Parabel bei 3/4 π sein.
f ' (3/4 π) = - √2
Parabel wegen Symmetrie    g(x)= a*(x-pi/4)^2 + b
g ' (x) = 2a ((x-pi/4)) also g ' ( 3/4 π)= a*pi   also    a*pi = - √2    also   a = - √2 / pi

Außerdem muss beim Berührpunkt gelten  g(3/4 π ) =  √2
Mit g(x) = - √2 / pi *(x-pi/4)^2 + b  ist   g (3/4 π ) = b - 0,5* √2
also    b - 0,5* √2   =   √2    b= 3/2 * √2

2.  f ist eine periodische Funktion und weil sin und cos beide die Periode 2pi haben, hat f das auch.
also hast du schon mal den Ansatz

h(x) = a cos (x-c))+d

Für die Amplitude wären Extrempunkte günstig  f ' (x) = 0 gilt z.B. bei x=-3*pi/4 

und f(-3*pi/4)=0  Tiefpunkt

  und f(pi -3*pi/4)=   2* wurzel(2)   Hochpunkt.

Da cos bei o einen Hochpunkt hat, hast du damit schon mal c=pi/4.

Damit die Teifpunkte den y-Wert 0 haben musst du um 1 nach oben schieben, gibt

 h(x) = cos(x-pi/4) + 1

und damit die Hochpunkte den passenden y-Wert 2*wurzel(2) haben noch *wurzel(2), daraus

bekommst du  das a.

h(x) =( cos(x-pi/4) + 1)* wurzel(2)

Jetzt noch die Klammer auflesösen, dann kannst du a und d ablesen.

von 259 k 🚀

ich komme grade da nicht weiter was das vereinfachen/lösen der Gleichung angeht : g (3/4 π ) = b - 0,5* √2 

und noch eine Frage zu 2. : f ' (x) = 0 -> nehme ich da die erste Ableitung von der Funktion die zu Beginn gegeben ist? dann wäre f ' (x)= -sin(x)+cos(x) = o ? und hierzu die eigentliche Frage: wie kann ich -sin(x)+cos(x) =0 ohne Gtr rauskriegen?? Danke :)

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