Question

Integrale mit Hilfe von Substitution lösen:

$$\int _ { - 1 } ^ { 1 } x ^ { 2 } \left( 1 - x ^ { 3 } \right) ^ { 4 } d x$$

Kann mir jemand weiterhelfen. Ich denke, dass (1-x³) = u und dx=du/-3x² ist.

Answer 1

Hi, bereite die Substitution ein wenig vor und führe sie dann durch:

$$\int_{-1}^{1}x^2\cdot\left(1-x^3\right)^4\text{d}x\\ = -\frac 13\cdot\int_{-1}^{1}-3x^2\cdot\left(1-x^3\right)^4\text{d}x\\ = -\frac 13\cdot\int_{u(-1)}^{u(1)}u^4\text{d}u\\ =\dots$$

Comments

wie kommst du auf die 1/3.

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Ich hab doch am Ende -1/3 * u⁴  aber wenn ich da 1 und -1 einsetze komme ich nicht auf das richtige Ergebnis

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Der Faktor $-\frac 13$ steht doch schon in der von Dir vorgeschlagenen Substitution $\text{d}u=\frac{\text{d}x}{-3x}$.

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Nach dem Substituieren integrierst Du von $u(-1)$ bis $u(1)$.

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Hab -1/16raus voll falsch

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Ich weiß nicht, was und wie Du rechnest.
Hier ist eine vollständige Rechnung:
$$\int_{-1}^{1}x^2\cdot\left(1-x^3\right)^4\text{d}x\\ = -\frac 13\cdot\int_{-1}^{1}-3x^2\cdot\left(1-x^3\right)^4\text{d}x\\ = -\frac 13\cdot\int_{u(-1)}^{u(1)}u^4\text{d}u\\ = -\frac 13\cdot\int_{2}^{0}u^4\text{d}u\\ = -\frac 13\cdot\left[\frac 15 u^5\right]_2^0\\ = \frac{32}{15}.$$

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Wenn ich aber 1und -1 einsetze erhalte ich -1/1510

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Du darfst, wie ich schon schrieb, nicht $1$ bzw. $-1$ für $u$ einsetzen. Wenn Du unbedingt mit den alten Grenzen arbeiten willst, musst Du erst rücksubstituieren, was in diesem Falle aber unnötig viel Arbeit macht.