Bestimmen Sie die Nullstellen der Funktionsschar in Abhängigkeit vom Parameter t. Funktion f(x)= x²-t*x³ (t=/0)

Question

Gegeben ist die Funktionsschar

f(x) = x²-t*x³  (t=/0)  (durchgestrichene gleichzeichen,name vergessen:-P)

a)Geben sie das Globalverhalten von f(x) an. Begründen Sie!

b)Bestimmen Sie die Nullstellen der Funktionsschar in Abhängigkeit vom Parameter t

Verstehe leider überhaupt nichts mehr..

Habe diese Aufgaben aus einer älteren Prüfung und komme zu keinem Ergebnis, brauche diese aber zum lernen für weiteres.

 

Danke schön im Voraus :-)

Answer 1

Das globale Verhalten kannst du der Skizze entnehmen.

Gezeichnet ist f(x) für  t = 1, t = 2, t = 3 und t = -0.5

Du kannst hier einfach faktorisieren und die Nullstellen ablesen.

f(x) = x²-t*x³

= x^2(1 - tx) = 0

Nullstellen

x1 = x2 = 0, x3 = 1/t

Answer 2

Nullstellensuche auf anderem Weg:

\(f(x) = x^2-t*x^3\)

\(f´(x) = 2x-3t*x^2\)

\( 2x-3t*x^2=0\) → \( x*(2-3t*x)=0\)

\(x₁=0\)  \(f(0) = 0\)

\(x₂=\frac{2}{3t}\)     \(f(\frac{2}{3t}) =(\frac{2}{3t})^2-t*(\frac{2}{3t})^3=\frac{12}{27t^2}-\frac{8}{27t^2}=\frac{4}{27t^2}\) 

\(\frac{4}{27t^2}≠0\)

Somit ist \(x₁=0\) die einzige Nullstelle

Comments

Somit ist \(x₁=0\) die einzige Nullstelle

Wovon?

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Somit ist \(x₁=0\) die einzige Nullstelle von \(f(x) = x^2-t*x^3\).

Ich hatte falsch gedacht: An anderen Stellen sind einfache Nullstellen, diese sind aber keine Extremwerte wie bei meiner Suche.

Danke für die Nachfrage!