exponentielles Wachstum einer Hefekultur

Question

folgende funktion:   f(t)  =  a   /   1+b*e^{-c*t}

t in h                  0      10          15        30           40  

Zellen              10     600      948     1000      1000

brauche die dazugehörige Funktionsgleichung, also im prinzip durch die tabelle   a,b und c berechnen

habs schon versucht, aber es kommen immer ganz komische gebrochene zahlen raus, weiß aber das das nicht sein kann 

Answer 1

a = 1000

f(0) = 10

b = 99

f(10) = 600

c = LN(297/2)/10 = 0.5

Answer 2

f(t)  =  a   /   1+b*e^-c*t

t in h                  0      10          15        30           40  

Zellen              10     600      948     1000      1000

Für t gegen unendlich ist es wohl 1000.

Also ist a=1000

f(0) = 10  gibt schon mal  a /  ( 1 + b ) = 10

 also    1000/ ( 1+b) = 10 

              1000 =  10 + 10b 

            990 = 10b 

         99 = b   und weil die Werte ja ungenau sind (Messwerte) besser vielleicht b=100.

Damit hast du  f(t) =  1000 /  ( 1 + 100 * e ^-ct )

Das c vielleicht durch f(10) = 600

600 = 1000 / ( 1 + 100 * e ^-10c )

1 + 100 * e ^-10c  =  5/3 

         100 * e ^-10c  =  2/3 

                e ^-10c  =  2/300 

             -10c = ln(2/300) ungefähr - 5

                     c = 0,5.

Also fertige Gleichung

f(t) = 1000 /  ( 1 + 100 * e ^-0,5t ) 

zum Vergleich

t in h                  0      10          15        30           40  

Zellen              10     600      948     1000      1000

f(t)                   9,9       597    947      999,9     gerundet1000

also ganz gut.