Für welches t hat die Funktion 3 verschiedene Nullstellen?

Question

Die Funktion ist: F_t(x)=2x³-tx²+8x

Nun soll ich ausrechnen für welches t die Funktion drei verschiedene Nullstellen hat.

Ich hab jetzt schon versucht das ganze mit der Mitternachtsformel zu lösen indem ich zuerst Substitution angewendet habe aber es funktioniert leider nicht so ganz. Da hab ich dann zwar eine Nullstellen und zwar 0 da ich dann ausgeklammert habe. Ich weiß jetzt echt nicht mehr weiter und von der Aufgabe b habe ich leider auch keine Ahnung. Ich versuche die Aufgabe nur nachzurechnen, dass heißt ich habe bereits die Lösungen und diese sind: t=-10; x1=0 ; x2=1 ; x3=4

Bei der Aufgabe b muss ich t so bestimmen, dass Ft die Nullstellen 2 hat.  Ich dacht mir schon, dass ich für x 2 einsetze und dann die Polynomdivision anwende???

Die Lösungen sind: t=-10 ; x1=-4 ; x2=-1 ; x3=0

Ich hoffe ihr könnt mir helfen:)

Answer 1

ich kann nicht ganz nachvollziehen, worauf Du hinaus möchtest. Um aber die Frage aus der Überschrift zu beantworten:

x auszuklammern ist schon mal der erste Schritt. Dann kannst Du weiterhin die Mitternachtsformel anwenden. Da erhalte ich, direkt eingesetzt, folgendes:

$$x_{2,3} = \frac{t\pm\sqrt{t^2-64}}{4}$$

Du kannst also jedes t wählen, abgesehen von t = ±8 und Du wirst 3 Nullstellen erhalten. Denn für t = -8 oder t = 8 wird die Wurzel 0 und das doppelte Vorzeichen greift nicht. Wir hätten dann eine doppelte Lösung.

Man muss auch noch untersuchen, dass x_2,3 nicht 0 wird, denn dann hätten wir eine doppelte Nullstelle mit x₁, das ist aber nicht der Fall, wie man schnell nachweisen kann.

Alles klar? Die gegebene Lösung zu t = -10 ist demnach nur eine mögliche Lösung von unendlich vielen ;).

Grüße