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Hey,
die Funktion f(x) = -3x³ + 99x² - 378x - 6480 hat eine Nullstelle bei x1 = -6
Laut Aufgabe soll ich die weiteren Nullstellen berechnen. Wie mache ich das?
Besten Dank für Hilfe :)

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Mit Polynomdivision.

Teile f(x) durch (x+6). Dann die Nullstellen des Resultats berechnen.

3 Antworten

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Beste Antwort
Polynomdivision bzw. Horner Schema

(- 3·x^3 + 99·x^2 - 378·x - 6480)/(x + 6) = - 3·x^2 + 117·x - 1080

Jetzt die über pq- oder abc-Formel lösen

x = 24 ∨ x = 15
Avatar von 484 k 🚀

Braavoo;  es setzt sich doch durch, dass die Polynomdivision durch Linearfaktpr ( PDLF )  nix weiter ist als das Hornerschema in Grün.

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Dass die eine Nullstelle gegeben ist, ist auf jeden Fall schon einmal ein Hinweis darauf, dass hier Polynomdivision anzuwenden ist (Falls du das noch nicht hattest, habe ich falsch gedacht und will dich nicht verwirren ;) ).

Du teilst also -3x³ + 99x² - 378x - 6480 durch (x + 6).

  (-3x³ + 99x² - 378x - 6480) : (x+6)
-(-3x³ - 18x²)                             → -3x²
    0     +117x² -378x - 6480
           -(117x²+702x)               →117x
                   0   -1080x-6480
                       -(-1080x-6480) → -1080
                                               0


Es geht vollständig auf, übrig bleibt -3x² + 117x - 1080. Das setzt du jetzt gleich 0:

0 = -3x² + 117x - 1080 |: -3
0 = x² - 39x + 360 |quadratische Ergänzung
0 = x² - 39x + 380,25 - 380,25 + 360 = (x-19,5)² - 20,25 |+ 20,25
20,25 = (x-19,5)² |√
± 4,5 = x-19,5 |+ 19,5
x = -4,5 + 19,5 = 15 oder x = 4,5 + 19,5 = 24

Also weitere Nullstellen bei x = 15 und x = 24.

LG Florian
Avatar von 1,1 k
Du kriegst einen dicken Knollen. Du hast praktisch noch net kapiert, dass Horner = PDLF . In dem Konkurrenzportal ===> Cosmiq las ich mal den Kommentar
 
   " Während sich der Schrat da vorne eine gee-schlaa-gene Viertelstunde mit seiner PD abmüht, hab ICH das selbe Ergebnis in einer Minute im Kopf.
   Wie das geht? Das verrate ich euch nur, wenn ihr auch besonders höflich zu mir seid ... "

    Stell dir vor, du hast eine Horner Subroutine. Die kannst du ganz bequem kannst du die auf PD aufrüsten; du musst dir nur den Workvektor zurück geben lassen. Bei Übergabe stehen die Koeffizienten des ausgangspolynoms drinne, bei rückgabe diejenigen des Faktorpolynoms nach erfolgter PD .
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Avatar von 1,2 k

Hier der hat einen gewaltigen Bug. So bald ich einen Link rein stelle, sagt der, ätsch bätsch 8 000 Zeichen.

Jetzt könnte doch der Support meine Antworten mit lesen und die Sache reparieren.

Machen die aber nicht.

Oder sie könnten die fachliche Qualität meiner Antworten beurteilen.

Intressiert hier keinen.

Nur wenn ich auch nur einen Satz zu viel sage, wo so eine selbst ernannte Petze entscheidet, ihr wollt das nicht hören. DANN krieg ich schon wieder Spam Vermerke. Wie viel ich bis jetzt geleistet habe, zählt dabei Null; niemand weiß mir Dank.

In dem Link erfährst du etwas über den Satz von der rationalen Nullstelle ( SRN )  Dort sage ich dir, du musst zur primitiven Form übergehen; hier ist das gleichzeitig die Normalform ===> Das Polynom ist normiert ( " monic " )


f  (  x  )  :=  x  ³  -  33  x  ²  +  126  x  +  2 160  =  0     (  1  )


Gleichungsnummern aus dem Link zitiere ich mit einem voran gestellten " L "  wie Link.  Hier geht es insbesondere um Darstellung ( L2ab ) Vor mir hat sich nämlich noch niemand gefragt, was ist


ggt  p  (  i  )     ;   i  =  1  ;  . . .  ;  n       (  2a  )


Antwort. Sei m ein Teiler; aus dem Satz von Vieta folgt der Zusammenhang


m  |  p  (  i  )  <====>  m  ^  i  |  b  (  n  -  i   )      (  2b  )


Ein m , das die rechte Seite von ( 2b ) befriedigt, wollen wir K-Teiler des Polynoms f ( x ) in ( L2a ) nennen - K wie Koeffizient. Der größte K-teiler ist dann selbst redend der gkt. Die Behauptung


ggt  p  (  i  )  =  gkt  (  f  )   (  2c  )


Und Gauß, der Entdecker des SRN , wie wir hörten, der " Teilerfürst " , sollte sich über den gkt keine Gedanken gemacht haben? Und abermals, in den letzten 200 Jahren soll das allen Mathematikern verborgen geblieben sein? Absurd bis Skurril.

Vereinzelt gibt es ja User, die schon mal vom SRN munkeln hörten. In vergleichbaren Fällen sagen die dann, in Frage kämen in ( 1 ) sämtliche Teiler des Absolutgliedes 2 160 - eine wahnsinnig schlechte Abschätzung. Denn ein Polynom kannst du durch seinen gkt kürzen genau wie einen Bruch durch seinen ggt . Und dies geschieht vermöge der Substitution


x  =:  u  *  gkt  (  f  )  =  3  u          (  3a  )

f  (  u  )  =  (  3  u  )  ³  -  11  *  3  (  3  u  )   ²  +  14  *  3  ²  (  3  u  )  +  80  *  3  ³  =   (  3b  )

=  3  ³  (  u  ³  -  11  u  ²  +  14  u  +  80  )       (  3c  ) 


Einen Teiler von 80 zu raten scheint mir wesentlich plausibler als im Falle von 2 160 . Sämtliche möglichen Zerlegungen der 80 durchzuspielen ( unter Beachtung der Teilerfremdheit ) liegt irgendwo an der Grenze des Machbaren.  Ich bin aber zuversichtlich, dass gerade die Zahlenteoretiker hier Rat wissen; es dünbkt mich schon etwas seltsam, dass gerade Zahlentheoretiker bisher Polynome immer sehr stiefmütterlich bedacht haben.

Der SRN birgt aber einen anderen Vorteil. Es reicht, wenn ich wiß, dass ( 1 ) einen RLF abspaltet; der SRN garantiert dann nämlich auch die Ganzzahligkeit der Wurzel von ( 3c )  D.h. obgleich der gkt seine Bedeutung als ggt verliert, bleibt er doch praktisch wichtig.

Eine negative Wurzel zu raten, wäre allein schon durch die CV motiviert. Du wählst u3 = ( - 2 ) Ich mache wie gesagt keinen Gebrauch davon, dass ( 3c ) vollständig zerfällt. So um 1995 herum kam mir spontan die Eingebung zu zwei pq-Formeln, die in jede Formelsammlung gehören ( Damals gab es weder einen SRN noch das Internetportal " Cosmiq " ) Weil ich das irgendwie witzig fand, nannte ich sie " erste und zweite Alfonsinische Formel ( AF ) " nach  der Figur König Alfons 3/4 XII bei Michael Ende,  meinem ersten Userpseudonym.

Ich vermag überhaupt nicht einzusehen, wieso wir Schüler mit dieser kontra-intuitiven Polynomdivision ( PD ) quälen sollten. Sicher freue ich mich, dass ihr alle das könnt ( Das weiß ich noch als alter Cosmiqianer; was Cosmiq diesem Forum eindeutig voraus hat, ist die prompte Rückmeldung in Form ätzender Kommentare. )

Aber Unbekannte sind seit Je bei Schülern bestens eingeführt;  mit Sicherheit musstet ihr schon schwerere Gleichungssysteme knacken als die AF . Längst könnt ihr danach googeln; ich erkläre es hier nochmal für alle, wo auf Beweise geil sind.

Die AF sind selbst Kind des geschmähten Stiefkindes namens Vieta. Ich verfolge das immer wieder; kein Schüler ist in der Lage bzw. wird dazu angehalten, aus Vieta auch nur die elementarsten Schlüsse zu ziehen. Vieta ist für euch geradezu ein Fremdwort.

Was beabsichtigt PD im Prinzip? Du hast ein kubistisches Polynom f ( x ) , hast x3 geraten und suchst das ( quadratische ) Faktorpolynom g ( x )


f  (  x  )  =  (  x  -  x3  )  g  (  x  )          (  4a  )

g  (  x  )  =:  x  ²  -  p  x  +  q        (  4b  )


Der Vieta von ( 4b ) lautet nun


p  =  x1  +  x2       (  5a  )

q  =  x1  x2            (  5b  )


f ( x ) in (  4a  ) hat auch einen Vieta; der ist nur nicht so popolär.


a2  =  -  (  x1  +  x2  +  x3  )       (  5c  )

a0  =  -  x1  x2  x3             (  5d  )


Und jetzt kommt das Ei des godzilla - lege mal den Rückwärtsgang ein.  ( 5a ) einsetzen in ( 5c ) so wie ( 5b ) in ( 5d )


a2  =  -  (  p  +  x3  )          (  6a )     ;  AF1

a0  =  -  q  x3            (  6b  )      ;   AF2


Alles steht beisammen. a0 und a2 sind bekannt, p und q gesucht.  ( 6ab ) sind nicht mal gekoppelt; und a1 kommt auch nicht vor.  Versuchen wir das mal in ( 3c  )


a2  =  -  (  p  +  u3  )   =  (  -  11  )   ===>  p  =  13         (  7a )  

a0  =  -  q  u3   =  80  ===>  q  =  40              (  7b  ) 

u  ²  -  13  u  +  40  =  0    (  7c  )


Die 40 hat die Zerlegung 40 = 2 ³ * 5   Wegen Teiler fremd darfst du das Zweierpäckchen aber nie aufschnüren. Es verbleiben die triviale Zerlegung 40 = 1 * 40 so wie die nicht triviale 40 = 8 * 5 Dass beide Wurzeln positiv sind, wissen wir schon; hinreichende Probe ist Vieta  ( 5a )

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