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Die Aufgabe lautet: Aus einem Gefäß, in dem sich 4 rote und 6 blaue Kugeln befinden, werden nacheinander Kugeln mit bzw. ohne Zurücklegen gezogen.

Vergleiche die Wahrscheinlichkeitsverteilungen für die Anzahl der gezogenen roten Kugeln.

ok ohne zurücklegen ist ja noch einfach, man rechnet einfach 4/10^n * 6/10^k *x, wobei n die anzahl der roten und k die anzahl der blauen kugeln ist und x der binomialkoeffizient für die jeweiligen gezogenen roten kugeln ist. Kein problem für mich.

Auf den ersten Blick scheint mir auch die Aufgabe mit zurücklegen einfach (ich habe sie auch gelöst). Man rechnet 4/10*6/9*5/8*4/7*3/6 . Hier stellt sich schon die erste frage. Es gibt bekanntlich 5 möglichkeiten, wann man die rote kugel zieht, jedoch bleibt die Wahrscheinlichkeit immer gleich. Genauso bei 2, 3, und 4 Kugeln. Warum ist das so?

Danach rechnet man halt diese Wahrscheinlichkeit wieder mal den binomialkoeffizienten für die anzahl der roten Kugeln, also bei 3=(5!/3!*(5!-3!)), was 10 möglichkeiten für die reihenfolge ergibt.

Alles klar, aufgabe gelöst.

Jetzt noch die zweite Frage: Gibt es eine allgemeine Formel, oder einen Weg, mit dem man diese Rechnerei, also 4/10*6/9*5/8*4/7*3/6 verkürzt? Ich vermute mal, irgendwie mit Fakultäten, richtig? (Diese Frage ist eher zweitrangig, mich interessiert die Frage warum die Wahrscheinlichkeit bei verschiedener Reihenfolge immer gleich bleibt, mehr.)

von

1 Antwort

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WK mit zurücklegen (Binomialverteilung)

P = (n über k)·(4/10)^k·(6/10)^{n - k}

WK ohne zurücklegen (Hypergeometrische Verteilung)

P = (4 über k)·(6 über n - k)/(10 über n)

Die Wahrscheinlichkeiten entlang des Pfades im Baumdiagramm werden multipliziert. Bei der Multiplikation gilt das kommutativgesetzt. D.h. die Zähler können auch eine andere Reihenfolge haben. Dadurch ändert sich an der WK nichts.

von 385 k 🚀

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