Reelle Lösungen der goniometrischen Gleichung cos(x)+cos(2x)=0 bestimmen

Question

ich habe diese Gleichung gegeben cos(x)+cos(2x)=0 und möchte die reellen Lösungen bestimmen.  Dazu habe ich eine Frage, kann ich hier gleich dieses Additionstheorem anwenden cos(x)+cos(y) ?
2(1/2(cos(3x)*cos(-x))

Answer 1

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cos(x)+cos(2x)=0

Vorschlag :  schau mal nach in deiner Formelsammlung

-> cos(2x) = 2 * cos^2(x) -1

wenn du das einsetzt und dann u= cos(x) substituierst,

bekommst du die quadratische Gleichung -> 2 * u^2 + u - 1 = 0

.......... die kannst du doch sicher lösen?

so kommst du dann zu den zwei Gleichungen

1) -> cos(x) = - 1

2) -> cos(x) = 1/2

und dazu wirst du problemlos alle passenden Winkel x finden ..

ok?

.

Comments

Danke für die Antwort, ja die Methode ist mir bekannt. Aber kann ich die Gleichung nicht auch mit dem Additionstheorem lösen ?

Klar, dein Lösungsweg mag besser und vielleicht auch einfacher sein, aber ich würde einfach lieber das Additionstheorem benutzen wollen

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"

.. mit dem Additionstheorem lösen ? ""

-> ich glaube, du bringst da etwas durcheinander

mit den Begriffen :

das Additionstheorem ( für den Spezialfall des doppelten

Winkels) wird bei meinem Lösungsvorschlag verwendet

was dir vorschwebt sind die Formeln für die Summen

in diesem Fall:

cos(x) + cos(y) = 2 * cos[(x+y)/2] * cos[(x-y)/2]

->

angewendet auf deine Aufgabe:

cos(2x)+ cos(x) = 2 * cos[(3x)/2] * cos[x/2) = 0

=>

1. -> cos[(3x)/2] =0

2. -> cos[x/2) = 0

usw ..

welche Möglichkeiten ergeben sich für x ?

ok?

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Genau das meinte ich: cos(2x)+ cos(x) = 2 * cos[(3x)/2] * cos[x/2) = 0 

Aber muss hier nicht noch weiter gerechnet werden mit dem Additionstheorem ? 

weil wir ja cos*cos haben ? 1/2 cos(x-y) + 1/2 cos(x+y) 

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"
.

Aber muss hier nicht noch weiter gerechnet werden mit dem Additionstheorem ? "

-> NEIN ! -> du hast ein PRODUKT ->  cos[(3x)/2] * cos[x/2) = 0

und ein Produkt wird genau dann den Wert 0 haben,

wenn ( je) EIN FAKTOR = 0 

mit den  beiden Faktoren des Produktes bekommst du nun

die zwei Gleichungen , die du weiter (einzeln) untersuchen musst -:

=>

1. -> cos[(3x)/2] =0

2. -> cos[x/2) = 0

ok?

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Gut das verstehe ich.

1. -> cos[(3x)/2] =0

2. -> cos[x/2) = 0

Betrachte ich je als einzelne Gleichung und löse mit arccos nach x auf oder?

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" ..

....... und löse mit arccos nach x auf oder?"

in dem einfachen Fall, dass der Cosinus den Wert 0 hat.

brauchst du den arccos doch nicht zu bemühen..

denn du solltest wissen (schau dir den cos im Einheitskreis an),

dass die Winkel dann -> ( pi/2+ 2k*pi) ..oder -> ( 3pi/2 + 2k*pi) sind.

Also kannst du doch jeweils dein gesuchtes x so sofort berechnen ..

oder?

also ->...

.