0 Daumen
1,2k Aufrufe

ich habe diese Gleichung gegeben cos(x)+cos(2x)=0 und möchte die reellen Lösungen bestimmen.  Dazu habe ich eine Frage, kann ich hier gleich dieses Additionstheorem anwenden cos(x)+cos(y) ?
2(1/2(cos(3x)*cos(-x))
von

1 Antwort

0 Daumen
.

cos(x)+cos(2x)=0


Vorschlag :  schau mal nach in deiner Formelsammlung

-> cos(2x) = 2 * cos^2(x) -1

wenn du das einsetzt und dann u= cos(x) substituierst,

bekommst du die quadratische Gleichung -> 2 * u^2 + u - 1 = 0

.......... die kannst du doch sicher lösen?


so kommst du dann zu den zwei Gleichungen

1) -> cos(x) = - 1

2) -> cos(x) = 1/2


und dazu wirst du problemlos alle passenden Winkel x finden ..

ok?

.

von

Danke für die Antwort, ja die Methode ist mir bekannt. Aber kann ich die Gleichung nicht auch mit dem Additionstheorem lösen ?


Klar, dein Lösungsweg mag besser und vielleicht auch einfacher sein, aber ich würde einfach lieber das Additionstheorem benutzen wollen

"

.. mit dem Additionstheorem lösen ? ""


-> ich glaube, du bringst da etwas durcheinander

mit den Begriffen :

das Additionstheorem ( für den Spezialfall des doppelten

Winkels) wird bei meinem Lösungsvorschlag verwendet


was dir vorschwebt sind die Formeln für die Summen

in diesem Fall:

cos(x) + cos(y) = 2 * cos[(x+y)/2] * cos[(x-y)/2]

->

angewendet auf deine Aufgabe:

cos(2x)+ cos(x) = 2 * cos[(3x)/2] * cos[x/2) = 0

=>

1. -> cos[(3x)/2] =0

2. -> cos[x/2) = 0

usw ..

welche Möglichkeiten ergeben sich für x ?


ok?

Genau das meinte ich: cos(2x)+ cos(x) = 2 * cos[(3x)/2] * cos[x/2) = 0 

Aber muss hier nicht noch weiter gerechnet werden mit dem Additionstheorem ? 

weil wir ja cos*cos haben ? 1/2 cos(x-y) + 1/2 cos(x+y) 

"
.


Aber muss hier nicht noch weiter gerechnet werden mit dem Additionstheorem ? "


-> NEIN ! -> du hast ein PRODUKT ->  cos[(3x)/2] * cos[x/2) = 0

und ein Produkt wird genau dann den Wert 0 haben,

wenn ( je) EIN FAKTOR = 0 

mit den  beiden Faktoren des Produktes bekommst du nun

die zwei Gleichungen , die du weiter (einzeln) untersuchen musst -:

=>

1. -> cos[(3x)/2] =0

2. -> cos[x/2) = 0


ok?



Gut das verstehe ich.

1. -> cos[(3x)/2] =0

2. -> cos[x/2) = 0

Betrachte ich je als einzelne Gleichung und löse mit arccos nach x auf oder?

.
" ..

....... und löse mit arccos nach x auf oder?"


in dem einfachen Fall, dass der Cosinus den Wert 0 hat.

brauchst du den arccos doch nicht zu bemühen..


denn du solltest wissen (schau dir den cos im Einheitskreis an),

dass die Winkel dann -> ( pi/2+ 2k*pi) ..oder -> ( 3pi/2 + 2k*pi) sind.

Also kannst du doch jeweils dein gesuchtes x so sofort berechnen ..

oder?

also ->...

.

Ein anderes Problem?

Stell deine Frage

Willkommen bei der Mathelounge! Stell deine Frage einfach und kostenlos

x
Made by a lovely community