Kern einer Matrix berechnen und als span angeben.

Question

Für den Eigenraum zum Eigenwert  \(\lambda_{1 / 2} \) gilt:
$$ \begin{array}{l} {V_{\lambda_{1 / 2}}=\operatorname{Kern}\left\{B-\lambda_{1 / 2} \cdot I_{3}\right\}=\operatorname{Kern}\left\{\left[\begin{array}{ccc} {0} & {1} & {-2} \\ {0} & {1} & {-2} \\ {0} & {0} & {0} \end{array}\right]\right\} \stackrel{II-I}{=} \operatorname{Kern}\left\{\left[\begin{array}{ccc} {0} & {1} & {-2} \\ {0} & {0} & {0} \\ {0} & {0} & {0} \end{array}\right]\right)} \\ {=\operatorname{span}\left\{\left[\begin{array}{c} {1} \\ {0} \\ {0} \end{array}\right],\left[\begin{array}{c} {0} \\ {2} \\ {1} \end{array}\right]\right\}} \end{array} $$
Kann mir jemand erklären wie ich von dem  LGS auf die Lösung  =span....... komme?
Vielen dank

Answer 1

Kern von
0   1   -2 
0   0    0
0   0    0   bedeutet doch:
alle Vektoren, für die diese Matrix * Vektor x =  Nullvektor ist.
Wenn x =  ( x1,x2,x3) ist, heißt das
0*x1 + x2 - 2x3 = 0
Die anderen beiden Gleichungen gelten immer.
Also kannst du frei wählen
x3 beliebig, etwa x3=t. das eingesetzt gibt
             x2 - 2t = 0
also  x2 = 2t  
Das x1 ist wieder beliebig wählbar, etwa x1 = s
Dann ist der gesuchte Vektor  x
=   (   s     ;     2t     ;    t )   =    s* ( 1;0;0) + t * ( 0 ; 2; 1 )
also sind die x'e in der Tat alle Vektoren aus dem von

( 1;0;0) und  ( 0 ; 2; 1 )  aufgespannten Unterraum von IR^3