Matrix B. Basis von ker B bestimmen und seine Dimension angeben.

Question

Hallo könnte jemand mir erklärend folgende Aufgabe vorrechnen?

Es sei die Matrix \( B \in \mathbb{R}^{3 \times 4} \) gegeben durch
$$ B=\left(\begin{array}{cccc} {3} & {-5} & {-3} & {4} \\ {1} & {-1} & {0} & {0} \\ {4} & {-2} & {3} & {-4} \end{array}\right) $$
a) Bestimmen Sie eine Basis von ker \( B \) und geben Sie seine Dimension an.
b) Schließen Sie mit Hilfe von Teil a) auf die Dimension des Bildes der durch \( B \) definierten linearen Abbildung und geben Sie ein Basis für das Bild dieser Abbildung an.

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Hallo könnte jemand erklärend a) vorrechnen?

Answer 1

Hallo Rokko,

der Kern von B ergibt sich aus dem  LGS  

     B  *  [ x,  y,  z,  w ]^T  =  [ 0, 0, 0 ]  

 

⎡ 3  -5  -3   4  | 0 ⎤

⎢ 1  -1   0   0  | 0 ⎥   

⎣ 4  -2   3  -4  | 0 ⎦

 Gauß-Algorithmus:  

⎡ 3  -5  -3   4   | 0 ⎤      

⎢ 1  -1   0   0   | 0 ⎥   

⎣ 7   -7   0   0   | 0 ⎦    Z3 + Z1

 

⎡ 3  - 5  -3   4   |  0 ⎤      

⎢ 1  -1    0   0   |  0 ⎥   

⎣ 0   0    0   0   |  0 ⎦   Z3 - 7*Z2

Z3, Z2 → w  und z sind frei wählbar

Z2  →   y = x  

Z1  →   -2x =  - 4w + 3z   →   x  = -1/2 * (- 4w + 3z ) 

Lösung:  

mit z,w ∈ ℝ ergibt sich 

Kern von B =   

{ \(\begin{pmatrix} 2 w - 3/2 z \\  2 w -3/2 z  \\ z \\ w \end{pmatrix}\) }   =  { z * \(\begin{pmatrix} -3/2 \\ -3/2 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}\) +  w * \(\begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}\) }

2  (linear unabhängige!)  Basisvektoren von kern(B)    

→   Dimension des Kerns = 2

b)

Dimensionssatz:

dim(Bild)  =  dim(V)  -  dim(Kern)  =  4 - 2  = 2

Das Bild der Abbildung ergibt sich aus 

 B  *  [ x,  y,  z,  w ]^T  =  [ 3·x - 5·y - 3·z + 4·w , x - y , 4·x - 2·y + 3·z - 4·w ]^T

                        =  x * [ 3 , 1 , 4 ]^T  +  y * [ -5 , -1 , -2 ]^T + z * [ -3 , 0 , 3 ]^T + w * [ 4 , 0 , - 4 ]^T

Wegen dim(BIld) = 2  sind genau 2 der 4 erzeugenden Vektoren linear unabhängig.

Deshalb ist  z.B.   { [ 3 , 1 , 4 ]^T  ;  [ -5 , -1 , -2 ]^T }  eine Basis des Bildes.

Gruß Wolfgang