Grundperiode, Nullstellen, Df und stetigkeit

Question

Hallo liebe Gemeinde,

Ich habe folgendes Problem und zwar soll ich bei einer Aufgabe den Definitionsbereich, die Nullstellen, die Grundperiode angeben und die Funktion stetig ergänzen.

Aufgabe:

$$f(x) = \frac { 1-cos(\frac { x }{ 2 } ) }{ 1-cos(x) }$$

a) Df: R \ {2k*pi} k in Z

b) NST ist bei x=4k*pi mit k in Z

c) udn d) also die Grundperiode und die stetige Ergänzung da komme ich net weiter.

ich weiß nur als Hilfe das

$$cos(x)=cos(2\frac { x }{ 2 } )=1-{2 sin }^{ 2 }(\frac { x }{ 2 } )$$

aber was ich damit machen soll keine Ahnung den weiter als

$$\frac { 1-cos(\frac { x }{ 2 } ) }{ -2{ sin }^{ 2 }(\frac { x }{ 2 } ) }$$

komme ich nicht. ??

Gruß

Anderlin

Answer 1

Hallo Anderlin,

was dir auffallen solte: Die Funktion hat keine Nullstellen! Da wo der Zähler Null wird wird auch der Nenner Null (das steht ja schon in deinen Ergebnissen bereits, ist dir vielleicht nicht aufgefallen).

Zähler und Nenner 0? Das klingt doch genau nach den Möglichkeiten die Funktion stetig zu ergänzen! Beispielsweise mit L-Hospital :) oder aber auch weiter das umformen was du hast (Bedenke im Nenner hast du ein Vorzeichen-Fehler!)

Tipp:

$$sin^2(z) = 1 - cos^2(z)$$
und natürlich die 3. Binomische Formel!

Was die Grundperiode betrifft ist der Weg über deine Umformung definitiv der einfachere, da du bei der "erweiterten" Funktion dann die Periode ablesen kannst.

Gruß

Comments

Hallo Yakyu,

Danke für die ausführliche Antwort. Ja habe es wirklich nicht gesehen das der Nenner auch  wird. Habe mich bei der Nullstelle nur auf den Zähler konzentriert blöder weise. Also muss man das hier stetig ergänzen.

Eins verstehe ich aber nicht. Und zwar

$${ sin }^{ 2 }(x)=1-cos(x)$$

Laut meiner Formelsammlung ist es

$${ sin }^{ 2 }(x)=\frac { 1 }{ 2 } (1-cos(2x))$$

Aber ich übersehe da wahrscheinlich was.

Gruß

Anderlin

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also die Identität $sin^2(x)+cos^2(x) = 1$ ist ja wohl die bekannteste die es gibt, kann mir kaum vorstellen, dass ihr die nicht gemacht habt. Das was ich geschrieben habe ist ja nur die Umformung (beachte das Quadrat bei Cosinus!).

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ohh ich schäme mich. Natürlich!!!

Ich versuch jetzt mal noch ein mal.

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Ok, ich merke dass ich auf der Stelle trete.

$$cos(x)=cos(2\frac { x }{ 2 } )={ cos }^{ 2 }(\frac { x }{ 2 } )-{ sin }^{ 2 }(\frac { x }{ 2 } )={ cos }^{ 2 }(\frac { x }{ 2 } )-(1-{ cos }^{ 2 }(\frac { x }{ 2 } ))$$

aber irgendwie bringt mir das nichts.

$$\frac { 1-cos(\frac { x }{ 2 } ) }{ 1-{ cos }^{ 2 }(\frac { x }{ 2 } )-(1-{ cos }^{ 2 }(\frac { x }{ 2 } )) }$$

oder

$$\frac { 1-cos(\frac { x }{ 2 } ) }{ 1-{ cos }^{ 2 }(\frac { x }{ 2 } )-{ sin }^{ 2 }(\frac { x }{ 2 } ) } =\frac { 1-cos(\frac { x }{ 2 } ) }{ { sin }^{ 2 }(\frac { x }{ 2 } )-{ sin }^{ 2 }(\frac { x }{ 2 } ) }$$

oder

$$\frac { 1-cos(\frac { x }{ 2 } ) }{ (1-{ cos }(\frac { x }{ 2 } ))(1-{ +cos }(\frac { x }{ 2 } ))-{ sin }^{ 2 }(\frac { x }{ 2 } ) } =\frac { 1 }{ (1-{ +cos }(\frac { x }{ 2 } ))-{ \frac { sin^{ 2 }(\frac { x }{ 2 } ) }{ 1-cos(\frac { x }{ 2 } ) } }^{ } }$$

sorry bin richtig schlecht im umformen.

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Versteh  nicht warum du nicht da weiter gemacht wo du aufgehört hast.

Aber bitte: Ich werde $z = \frac{x}{2}$ benutzen um mir Schreibarbeit zu sparen.

$\cos(x) = \cos^2(\frac{x}{2})-(1-\cos^2(\frac{x}{2} )) = 2\cos^2(z) -1$. Somit also:

$$\frac{1-\cos(\frac{x}{2})}{1-\cos(x)} = \frac{1-\cos(z)}{1-(2\cos^2(z)-1)} = \frac{1-\cos(z)}{2-2\cos^2(z)} = \frac{1-\cos(z)}{2(1+\cos(z))(1-\cos(z))}= \frac{1}{2+2\cos(z)} = \frac{1}{2+2\cos(\frac{x}{2})}$$

War doch nicht so schlimm oder? Du hast übrigens mein Tipp mit der 3. Binomischen Formel ignoriert. Shame on you ;)

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Ohh man,

nachdem ich richtig geklammert habe, habe ich das Ergebnis auch raus bekommen. :( Schäm.

Aus dem Ergebnis kann ich das dann so argumentieren?

Grundperiode von cos(x) ist 2*pi also ist die Grundperiode von

$$cos(\frac { x }{ 2 } )\quad \Rightarrow \quad \frac { 2\pi }{ \frac { 1 }{ 2 } } =4\pi$$

Also die Grundperiode 4*pi

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Jap :)

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Und 1/4 währe dann die stetige Ergänzung?

1/4 kommt raus wenn ich gegen 0 laufe.

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War ein langer Weg aber ja genau so sieht's aus ^^

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Nochmals vielen DANK!!! Sie waren sehr geduldig mit mir :)

Gruß

Anderlin

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Eine Frage hätte ich aber noch,

muss ich den Grenzwert von beiden Seiten bilden also 0^+ und 0^- damit das auch sicher ist?

Gruß

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Du musst doch überhaupt kein Grenzwert bilden ^^ einfach nur in die vereinfachte Funktion einsetzen.