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Meine Aufgabe lautet folgendermassen:

Sei ℂn mit dem Standard Skalarprodukt versehen.

a) Sei f : ℂn → ℂn eine Isometrie. Zeige, dass jeder Eigenwert λ von f den Betrag 1 hat, d. h. ΙλΙ = 1.

b) Sei u ∈ ℂn mit     II u II = 1 und definiere

Bild Mathematik

Zeige dass U unitär ist und U-1= U 


Wie macht man das?

von

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a) v,w aus C^n   ist * das Skalarprodukt, dann ist   |v| = wurzel( v*v)

also | v-w| = wurzel ( (v-w)*(v-w) )

und | f(v) - f(w) | = wurzel ( f(v) - f(w) ) *(f(v) - f(w) )  )

und wenn k ein Eigenwert ist und v und w Eigenvektoren, dann

gilt  f(v) = k*v     und     f(w)=k*w

also   | f(v) - f(w) | = wurzel ( f(v) - f(w) ) *(f(v) - f(w) )  )

= wurzel ( k*v - k*w) * (k*v - k*w)   ) 

=   wurzel ( k*(v -w) * k*(v - w)   ) 

=      wurzel ( k^2 *(v -w) *(v - w)   ) 

=      wurzel ( k^2 ) * wurzel((v -w) *(v - w)   )

=   wurzel ( k^2 ) *   | v-w|

und wegen der Isommetrie ist    | v-w| =  | f(v) - f(w) |

also    wurzel( k^2 ) = 1   also |k|=1



von 229 k 🚀

Danke, das was ja viel ausführlicher als ich es erwartet hätte :-)


Kennst du den Beweis für b) auch noch? Oder kannst du mir den Einstieg zeigen?

wenn u die Spalte mit u1,u2,u3,....,un ist dann ist u quer transponiert die

Zeile  u1,u2,u3,....,un  die roten sollen mit Querstrich drüber sein.

Das Produkt ist dann die Matrix V =

u1*u1        u1*u2       u1*u3        .....................  u1*un

u2*u1         u2*u2       u2*u3        .....................  u2*un

u3*u1         u3*u2       u3*u3        .....................  u3*un

....................................................................................

un*u1         un*u2       un*u3        .....................  un*un

  

Naja und Idn - 2*V ist also große U Um zu zeigen, dass dies

unitär und zu sich invers ist, muss man also U*UH = E und U*U=E

zeigen.  Für das 2. habe ich vielleicht eine Idee:

für V*V muss man ja immer eine Zeile von V mit einer Spalte von V

multiplizieren also z.B. 1. Zeile mal 2. Spalte gäbe

u1*u1*u1*u2 + u1*u2*u2*u2 + u1*u3*u3*u2 + ...

In der ersten Zeile haben alle den Faktor u1 und in der 2. Spalte alle den Faktor u2

man kann also u1*u2 ausklammern und in der Klammer bleibt


u1*u1+u2*u2  + u3*u3 +...................un*un und das ist    II u II^2 = 1

also ist die Klammer = 1 und das Ergebnis 1. Zeile mal 2. Spalte ist also

nur das ausgeklammerte u1*u2 und das ist genau das gleiche Element

wie in der Matrix V.   Wenn man das allgemein mit i-te Zeile mal j-te Spalte macht, erhält

man V*V = V.

Dann ist aber leicht: U * U = (Idn - 2*V)*( Idn - 2*V)

= Idn^2 - 2*V* Idn -2* Idn *V + 4*V*V 

= Idn - 2*V -2*V + 4*V*V 

= Idn - 2*V -2*V + 4*V     wegen V*V=V

                                                   = Idn    Also ist U-1 = U.

Das andere geht vielleicht so ähnlich.


                                

Wow vielen Dank, darauf wäre ich nie gekommen.

Ist U nicht automatisch unitär wenn U^-1 =U ist?

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