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folgende Frage beschäftigt mich gerade:

In einer positiv gekrümmten Fläche, beispielsweise einer Kugel, ist doch die Winkelsumme eines Dreiecks größer als 180° ?

Gibt es dazu auch ein negativ gekrümmtes Pendant mit einer Winkelsumme kleiner als 180° und wie habe ich mir diese Fläche vorzustellen ?

Vielleicht unterläuft mir jetzt gerade ein Denkfehler, aber würde das nicht bedeuten, dass sich 2 parallele Geraden eben nicht erst im Unendlichen schneiden bzw. eine Gerade nicht die kürzeste Verbindung zwischen 2 Punkten ist ?


Freue mich über Hilfe !

Vielen Dank

Sophie

von

2 Antworten

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Beste Antwort

willkommen in der nichteuklidischen Geometrie :)

Das mit der negativen Krümmung hast du vollkommen richtig erkannt. Auf solchen Flächen haben Dreiecke eine Winkelsumme, die kleiner ist als 180°. Vorstellen kannst du dir solche Flächen mit dem Beispiel der Sattelfäche. Hyperboloiden sind vielleicht als leicht vorstellbares Beispiel geeignet:

http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/4/46/Hyperboloid1.png

Von Geraden redet man bei solchen Räumen eigentlich nicht mehr. Die kürzeste Verbindung bezeichnet man als Geodäte.

https://de.wikipedia.org/wiki/Geod%C3%A4te

Gruß

von 24 k

Hi Yakyu,

eine tolle Antwort, vielen Dank !!

Meine Vorstellungskraft kämpft zwar noch mit einem Dreieck in einer negativ gekrümmten Fläche, aber interessant ist diese Thematik allemal.

Wenn anscheinend nicht Euklid, wer und vor allem wann hat man denn diese Besonderheiten entdeckt ?

In geschichtlichen Sachen kenne ich mich nicht so aus :), aber ich meine die Differentialgeometrie bezogen auf gekrümmte Flächen ist noch nicht allzu alt. Riemann hat glaube ich im 19. Jahrhundert angefangen diese als eigenständiges Feld einzuführen, wobei es bestimmt schon vorher auch Arbeiten in diese Richtung gab.

Nein, ich habe gerade gelesen, dass die nichteuklidische Geometrie von Gauß, Bolyai und Lobatschewski entdeckt wurde.

Endlich mal ein fesselndes Thema...

http://projektgoethezeit.sickingengymnasium.de/?p=377

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Deine Vermutungen sind richtig !

Kannst du auch nachrechnen bei www.arndt -bruenner .de

von 4,8 k

Leider nicht ganz so hilfreich, danke Dir trotzdem !

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