0 Daumen
1,5k Aufrufe
\(d(({ x }_{ 1 }, { y }_{ 1 }), ({ x }_{ 2 }, { y }_{ 2 })) = |{ y }_{ 1 }| + |{ x }_{ 1 } - { x }_{ 2 }| + |{ y }_{ 2 }|. \)


1:

Beweisen Sie, dass d eine Metrik2 auf \( { ℝ }^{ 2 } \) ist.Berechnen Sie \(d(R, J)\). 
EDIT(Lu): Gemäss Kommentar: R = (1,3) und J = (4,7).

2:

Für die Menge M := {(t,2) | 0 < t < 2} geben Sie die folgenden Mengen an (alles bezüglich d):
(a) Die Menge Ber(M) der Berührpunkte von M.
(b) Die Menge HP(M) der Häufungspunkte von M.
(c) Die Menge  der inneren Punkte von M.
(d) Den Rand \(∂M\).
Avatar von

1. kann man nicht berechnen, wenn man R und J nicht hat.

EDIT:

Besteht ein Zusammenhang zu: https://www.mathelounge.de/227095/wie-skizziere-ich-offene-kugeln-im-metrischen-raum?show=227119#c227119  ?

Wenn ja: Welcher genau?

R = (1,3) und J = (4,7)

Schon dran gedacht die Eigenschaften einer Metrik abzuklappern? :)

d ( (x1,y1) , (x2,y2) ) = |y1| + |y2| + |x1-x2| 

Einsetzen: R = (1,3) und J = (4,7)

d((1,3),(4,7)) = 3 + 7 + |1 -4| = 11+3 = 14.

1 Antwort

+1 Daumen
 
Beste Antwort

d ( (x1,y1) , (x2,y2) ) = |y1| + |y2| + |x1-x2|

du muss die drei Punkte: pos. Def.   Symm. und Dreiecksungk. prüfen

1. d ( (x1,y1) , (x2,y2) ) ≥ 0 ist klar, da Summe von drei Beträgen

d ( (x1,y1) , (x2,y2) ) = 0 geht nur bei y1=0 und y2=0 und x1-x2=0 , also x1=x2

und y1=y2 (beide 0)  also insgesamt nur bei  (x1,y1) = (x2,y2) .

2.   d ( (x1,y1) , (x2,y2) ) = |y1| + |y2| + |x1-x2|

= |y1| + |y2| + |x2-x1|

=   d ( (x2,y2) , (x1,y1) )

3. zu zeigen: d ( (x1,y1) , (x3,y3) )  ≤  d ( (x1,y1) , (x2,y2) ) +  d ( (x2,y2) , (x3,y3) )

also  |y1| + |y3| + |x1-x3|     ≤      |y1| + |y2| + |x1-x2|  +    |y2| + |y3| + |x2-x3|

|x1-x3|     ≤     |x1-x2| +|x2-x3| +    |y2| +   |y2|

aber      |x1-x3|  =  |x1-x2+x2-x3|

=    | (x1-x2)+(x2-x3) |  

≤    |x1-x2| +|x2-x3| sagt die Dreiecksungl für | ...|

und wenn rechts noch   |y2| +   |y2| addiert wird, bleibt nat. die rechte Seite

größer.


Avatar von 287 k 🚀

Vielen vielen Dank. In der 2: muss man quasi nur noch einsetzen oder?

meinst du  2. Teil von 1 :  Ja

bei 2 musst du halt nach den Definitionen vorgehen

Berührpunkt, Häufungspkt etc

Die 2. Aufgabe meinte ich. OK, alles klar dann :). Vielen Dank nochmal.

Nicht ganz korrekt,

denn d(x,y)= 0 GENAU DANN, wenn x=y.

Wenn z.B. x=y=(5,2)

dann ist d(x,y)=4≠0.

Somit ist d, wie es oben steht, keine Metrik im R^2.

Ich glaube es fehlte die Bedingung

d =  |y1-y2| für x1 = x2

Ich habe die Definitionen vor mir dennoch ist mir unklar wie ich die jetzt anwenden kann.

Ein anderes Problem?

Stell deine Frage

Willkommen bei der Mathelounge! Stell deine Frage einfach und kostenlos

x
Made by a lovely community