Zeigen Sie, dass d eine Metrik auf ℝ definiert. d(x,y) := |e^x −e^y|.

Question

Die Abbildung d : ℝ×ℝ → [0,∞) sei definiert durch d(x,y) := |e^x −e^y|. Zeigen Sie, dass d eine Metrik auf ℝ definiert.

Answer 1

die Metrik Eigenschaften sind nachzuweisen.

d(x,y)>=0:

Das gilt aufgrund des Betrags.

d(x,y)=0 <-> x=y

|e^x - e^y|=0

<->

e^x - e^y=0

<->

 e^x=e^y

<->

x=y, da die Exponentialfunktion monoton verläuft.

Symmetrie: gilt aufgrund des Betrags

Dreiecksungleichung:

Gilt aufgrund des Betrags.