Lineare Funktionen / Sachaufgabe: Regenwasser zur Gartenbewässerung mit Zisterne

Question

Eine häufig genutzte Möglichkeit, Regenwasser zur Gartenbewässerung aufzufangen, besteht darin, eine Zisterne anzulegen.Zumeist verwendet man hierfür zylindrische Betongefäße, die frostsicher in die Erde eingelassen sind.
Der Behälter habe einen Durchmesser von 1,5 m.In einer Höhe von 1,7m befinde sich ein Überlauf, der an das Kanalsystem angeschlossen ist. Es werden bei einem mittelstarken Regen 400l Wasser pro Stunde aufgefangen. Zu Beginn des Regens stehe das Wasser in der Zisterne bereits 35 cm hoch.


a) Geben Sie den zu der Funktion 'Zeit nach Regenbeginng → Wasserhöhe in der Zisterne' gehörenden Funktionsterm an !
b) Wie hoch steht das Wasser in dem Behälter, nachdem es 8h ununterbrochen geregnet hat ?
c) Nach welcher Zeit beginnt das Wasser in die Kanalisation zu laufen ?
d) Geben Sie die Zuordnungsvorschrift für die Funktion 'Wasserhöhe → Zeit nach Regenbeginn' an!

Answer 1

Ich rechne mal alles auf cm um

Der Behälter habe einen Durchmesser von 75 cm. In einer Höhe von 170 cm befinde sich ein Überlauf, der an das Kanalsystem angeschlossen ist. Es werden bei einem mittelstarken Regen 400l = 400*1000 cm³ Wasser pro Stunde aufgefangen. Zu Beginn des Regens stehe das Wasser in der Zisterne bereits 35 cm hoch.

Innerhalb einer Stunde fliessen 400'000 cm³ in die Zisterne 

Weil V_zylinder= π r² h gilt. Steigt die Wasserhöhe um h = V_zylinder /  (π r²) =  22,635  cm/h

t sei die Zeit in Stunden f(t) die Höhe in cm.

a) f(t) = 35 + 22,635 t           ,t < 5.96h         bis die Zisterne überläuft.

     f(t) = 170                           ,t > 5,96h         ab dem Zeitpunkt des Überlaufens in die Kanalisation, wenn Abfluss genügend gross.

    Zeitpunkt des Überlaufens: 170 = 35 + 22,635 t 

   t = 135/22,635 = 5.96 h

b) 170 cm, wenn Abfluss genügend gross ist

c) etwa 6 h

d) Umkehrzuordnung cm → Stunden nach Regenbeginn

für 35<  h < 170 → t(h) = (h-35)/22,635

Ausserhalb von diesem Bereich nicht eindeutig:

für h = 35 → t(h) ≤ 0

für h≥ 170 → t(h) ≥ 5,96