Bestimmen von Funktionsgleichungen. Graph einer ganzrationalen Funktion 4. Gerades ist symmetrisch zur y-Achse.

Question

Kann mir jemand bitte erklären wie man eine Funktionsgleichung aufstellen kann.

Ich hab eine Beispielaufgabe:

Der Graph einer ganzrationalen Funktion 4. Gerades ist symmetrisch zur y-Achse.

Er schneidet die y-Achse in Sy(0;2) und hat in T(1;0) einen Tiefpunkt.

-> Bestimmen Sie die Funktionsgleichung von f !

Ich würde mich auch freuen wenn jemand mir generell auch ein paar Tipps geben würde, wie ich bei solch einer Aufgabe vorgehen soll, oder auch andere ähnliche Aufgaben, die beispielsweise als Funktions des 3. Geredes vorkommen würden.

Ich danke schon mal im Voraus, freu mich auf eure Tipps :)

Answer 1

Ich hab eine Beispielaufgabe: Der Graph einer ganzrationalen Funktion 4. Gerades
ist symmetrisch zur y-Achse. Er schneidet die y-Achse in Sy(0;2) und hat in
T(1;0) einen Tiefpunkt.

f ( x ) = a*x⁴ + b * x³ + c * x² + d * x + e
ist symmetrisch zur y-Achse. Dann  nur noch

f ( x ) = a*x⁴ + c * x² + e
f ´( x ) = 4 * a * x³ + 2 * c * x

f ( 0 ) = a*0⁴ + c * 0² + e = 2  => e = 2

f ( x ) = a*x⁴ + c * x² + 2

f ( 1 ) = a*1⁴ + c * 1² + 2 = 0
f ´( 1 ) =  4 * a * 1³ + 2 * c * 1 = 0

a*1⁴ + c * 1² + 2 = 0
4 * a * 1³ + 2 * c * 1 = 0

a  + c  + 2 = 0
4 * a  + 2 * c  = 0

a = -2 - c
4 * ( -2 - c ) + 2 * c = 0
-8 - 4 * c + 2 * c = 0
-8 = 2 * c
c = -4

a = -2 - ( -4 )
a = 2

f ( x ) = 2 * x⁴ - 4 * x² + 2

Plotlux öffnen

f₁(x) =  2·x⁴-4·x²+2

Comments

Ich würde mich auch freuen wenn jemand mir generell auch
ein paar Tipps geben würde, wie ich bei solch einer Aufgabe
vorgehen soll, oder auch andere ähnliche Aufgaben, die
beispielsweise als Funktions des 3. Geredes vorkommen würden.

Alle Fakten aufschreiben.

Es ergibt sich ein Gleichungssystem z.B.
3 Gleichungen mit 3 Unbekannten.
Dies ist dann zu lösen.

Du verbesserst dich sicher je mehr du rechnest.

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Jetzt unbeschadet der ( gleich lautenden ) Antworten von Lu und mir ( Ich hatte ihn erst nicht beachtet. )

Kommentar zu deinem Wunder schönen Bild.

Ich habe nämlich eine Kategorienlehre der biquadratischen funktionen entwickelt.

f ( x ) := x ^ 4 - p x ² + q  ( 1 )

W-Form so wie bei dir ergibt sich genau wenn p > 0

x1;2 ( min ) = -/+ sqr ( p/2 )  ( 2a )

f ( min ) = q - ( p/2 ) ²   ( 2b )

x ( min ) = x ( w ) sqr ( 3 )   ( 2c )

Answer 2

Wenn man nicht so gern rechnet wie georgborn, kann man die Angaben noch etwas anders ausnützen.

Der Graph einer ganzrationalen Funktion 4. Gerades ist symmetrisch zur y-Achse.

Er schneidet die y-Achse in Sy(0;2) und hat in T(1;0) einen Tiefpunkt.

Aus Symmetriegründen ist auch T(-1;0) ein Tiefpunkt.

 

Beide Nullstellen haben gerade Vielfachheit. Da der Grad 4 vorgegeben ist, kommt mein Ansatz mit einer einzigen Unbekannten aus:

f(x) =a* (x-1)² (x+1)² 

Jetzt noch S ausnützen

2 = a*(-1)² * 1² = a

Daher

f(x) = 2(x-1)² * (x+1)²

Wenn man will, kann man noch die Klammern auflösen. 

f(x) = 2((x-1)(x+1))² = 2(x² - 1)²

= 2(x⁴ - 2x² + 1)

= 2x⁴ - 4x² + 2

Comments

Ich danke für die hervorragenden Antworten. ich bin tatsächlich kein Typ der gerne so viel rechnet.

EIne Frage: Was meinst du mit S ausnützen ?

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@Lu
Ich mache mir auch nicht unbedingt mehr Arbeit als nötig.

Ich kann mitunter auch kürzere oder elegantere Antworten geben,
bloß ist es dann die Frage ob der Fragesteller diese versteht.

Zum Verständnis deiner Antwort ist doch schon mehr
Fachwissen notwendig.

mfg Georg

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S hat die Koordinaten x=0 und y=2. Die konnte ich einsetzen bei diesem Schritt:

f(x) =a* (x-1)² (x+1)² 

2 = a*(0-1)² *(0+ 1)² 

2 = a*(-1)² * 1² = a

georgborn: Fachwissen eignet man sich mit der Zeit an, wenn man verschiedene Wege sieht. 

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gibt doch noch vernünftige Leut ...

Answer 3

Hier ist irgendein Bug im System; Links auf andere Fragen kann ich hier nicht posten. Der will dann immer gleich den ganzen Quelltext mit rein kopieren.

Hier euren Murx kann ich echt nicht mit ansehen. Hier da brauch ich doch keine Unbekannten.

Ansatz. Das Extremum bei x = ( +1 ) ist immer eine Nullstelle GERADER Ordnung; offenbar zweiter.

Denn wenn du die Symmetrie beachtest und spiegelst, kriegst du eine doppelte Nullstelle bei x1;2 = ( - 1 )

f ( x ) = k ( x + 1 ) ² ( x - 1 ) ²

Hier das musste einfach mal gesagt werden.