Steckbriefaufgabe: Graph ist zur y-Achse symmetrisch usw.

Question

Aufgabe:

Der Graph ist zur y-Achse symmetrisch, hat einen Tiefpunkt auf der x-Achse und an der Stelle x=1 einen Wendepunkt.

Problem/Ansatz:

Wie lauten die Lösungsgleichungen dafür?

Comments

Hallo Josefine

Sollte

Wie lauten die Lösungsgleichungen dafür?

exakt stimmen, musst du mehrere Lösungen angeben. Daher der Parameter a in der Antwort. Nun aber: Sollte nirgends etwas zum Grad der gesuchten Polynome stehen, gibt es sehr viel mehr "Lösungsgleichen". Willst du die Frage nochmals präzisieren?

---

@TR: Ich verstehe das so, dass der Frager die Bedingungsgleichungen, die zu der oder den Lösungen führen, sucht.

---

Danke für die Erklärung.

Nun weiss auch Josefine, welche Fragestellung ihr beantworten wolltet.

Warum unterschlägst du Lösungen von höherem Grad?

Answer 1

Die beiden Informationen "Symmetrie zur y-Achse" und "Wendepunkt vorhanden" führt auf den Ansatz $$f(x)=ax^4+cx^2+e$$Da es nur einen Tiefpunkt geben soll und dieser zudem auf der x-Achse liegen soll, muss dieser Tiefpunkt wegen der Achsensymmetrie im Ursprung \((0\vert 0)\) liegen. Daher kann der Ansatz zu $$f(x)=ax^4+cx^2$$ mit \(a<0\) vereinfacht werden. Dieser muss den Bedingung$$f''(1)=0$$ genügen.

Answer 2

Tiefpunkt auf der x-Achse bedeutet, es existiert ein doppelte Nullstelle. Ansatz:

f(x)=x·(ax-b)²

f ''(x)=2a·(3ax-2b)

Wegen WP bei x=1 folgt 0=2a·(3a-2b).

Dann ist entweder a=0 (entfällt) oder 3a-2b=0 und b=3/2a

f_a(x)=x(ax -3/2a)².

Comments

@Roland

Dein Vorschlag ist nicht achsensymmetrisch.

---

Ja danke, das hatte ich nicht bedacht.

Answer 3

Der Graph ist zur y-Achse symmetrisch, hat einen Tiefpunkt auf der x-Achse und an der Stelle x=1 einen Wendepunkt.

Symmetrie → Nur gerade Exponenten von x, z.B. \(f(x)=ax^6+bx^4+cx^2+d\). Ob der Grad 6 oder 4 ist, hängt von der Anzahl der Bedingungen ab.

Tiefpunkt auf der x-Achse → \(f(x_0)=0 ; f'(x_0)=0 ; f''(x_0)<0\)

Wendepunkt bei x=1 → \(f''(1)=0=30a+12b+2c\)

Eine Möglichkeit wäre \(f\left(x\right)=-0.5x^{4}+3x^{2}\)