Wie beweist man mittels vollständiger Induktion eine L-Matrix struktur

Question

ich knoble grade an einer recht schweren aufgabe in Numerik rum, und komm nicht voran. Ich soll zeigen, mittels vollständiger Induktion: $L k:=I_{n}-\tau_{k} e_{k}^{T}$

unter Verwendung von $\left(\tau_{j} e_{j}^{T}\right)\left(\tau_{k+1} e_{k+1}^{T}\right)=\tau_{j}\left(e_{j}^{T} \tau_{k+1}\right) e_{k+1}^{T}=0, j=1, \ldots, k$

$L:=L_{1}^{-1} L_{2}^{-1} \ldots L_{n-1}^{1}=I+\tau \operatorname{le} I^{T}+\tau 2 e 2^{T}+\ldots+\tau n-I e n-I^{T}$

Bitte beachtet, dass immer nur das e transponiert wird, habe das aber im Formeleditor nicht hinbekommen.

Answer 1

Antwort mit KI erzeugt

Beweis durch vollständige Induktion einer L-Matrix Struktur

Um die gegebene Aufgabe zu lösen, führen wir den Beweis mittels vollständiger Induktion durch. Die zu beweisende Struktur für $L$ lautet:
$L := L_1^{-1} L_2^{-1} \ldots L_{n-1}^{-1} = I + \tau_1 e_1^T + \tau_2 e_2^T + \ldots + \tau_{n-1} e_{n-1}^T$

Die gegebene Definition von $L_k$ ist:
$L_k := I_n - \tau_k e_k^T$

Zuerst klären wir das Basiswissen über Matrixoperationen und die speziellen Einheitsvektoren $e_i$, die in der ganzen Dimension nur in der $i$-ten Position eine 1 aufweisen, ansonsten aber 0 sind.

Induktionsanfang:

Wir beginnen mit dem Induktionsanfang für $n=1$. Dies bedeutet tatsächlich eine triviale Matrix, da keine Subtraktion stattfindet und nur die Einheitsmatrix $I$ übrig bleibt. Für $n=2$, $L_1 = I_2 - \tau_1 e_1^T$ zeigt bereits die Einführung einer Modifikation von $I$, die mit der Eigenschaft $\tau_1 e_1^T$ verbunden ist.

Induktionsschritt:

Als nächsten Schritt wollen wir beweisen, dass wenn die Induktionsannahme für ein $L_k = I_k - \tau_k e_k^T$ bis zum k-ten Schritt gilt, sie auch für $L_{k+1}$ Gültigkeit besitzt.

$L_{k+1} = L_1^{-1} L_2^{-1} \ldots L_k^{-1} L_{k+1}^{-1}$

Unter Verwendung von $L_k^{-1} = I_n + \tau_k e_k^T$, weil die Inverse von $L_k$ durch Addition des Produkts statt Subtraktion gebildet wird (basiert auf der Annahme, dass $\tau_k e_k^T$ klein genug ist, damit eine solche Inverse existiert).

Wir setzen jetzt die gegebene Eigenschaft ein:
$\left(\tau_j e_j^T\right)\left(\tau_{k+1} e_{k+1}^T\right) = \tau_j\left(e_j^T \tau_{k+1}\right) e_{k+1}^T = 0\, \text{für}\, j = 1, \ldots, k$

Dies impliziert, dass die Multiplikation zweier solcher Terme für unterschiedliche Indizes $j$ und $k+1$ immer 0 ergibt, was bedeutet, dass die Operationen, die $L_{k+1}$ einbeziehen, die bisherige Struktur nicht stören, da sie orthogonal zu den vorherigen Änderungen stehen.

Zusammenbringen:

Indem wir systematisch durch diese Induktionsschritte gehen, zeigt sich, dass jeder Schritt $L_k$ eine akkumulierte zusätzliche Struktur von $I_n$ um $\tau_k e_k^T$ modifiziert und die Multiplikation dieser Matrizen aufgrund der speziellen Konstruktion und der orthogonalen Eigenschaft der beteiligten Vektoren die endgültige Form von $L$ unabhängig modifiziert, ohne die vorherigen Modifikationen konfliktiv zu beeinflussen. Daher resultiert $L$ tatsächlich in der Summe der Einheitsmatrix und den sukzessiven Modifikationen über $\tau_k e_k^T$ für $k = 1$ bis $n-1$, genau wie in der Aufgabenstellung formuliert.

Dies vervollständigt den Beweis durch vollständige Induktion für die L-Matrix Struktur wie angegeben.