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Beweis mittels vollständiger Induktion. Wie der Anfang funktioniert ist mir klar. Bis zur Induktionsbehauptung bin ich gekommen. Danach ist mir leider nichts mehr eingefallen. Vielleicht kann mir mal jemand bei dem letzten Schritt auf die Sprünge helfen. Bild Mathematik
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n=1 OK.

n ⇒ n+1

also

wenn A die Matrix ist

An+1 = A * An      (Induktionsvor)

       = A * 2n-1 * A

= 2n-1 *A * A

= 2n-1 * ( 2   2  )
            ( 2   2 )

= 2n-1 * 2 * A

= 2n * A    q.e.d.

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Man muss auf der Basis der Induktionvoraussetzung (die Formel, die es zu beweisen gilt fur ein bestimmtes k, nämlich Ak = 2k-1·A ) zeigen, dass Ak·A = 2k · A oder Ak+1 = 2k·A.  In die erste dieser beiden letztgenannten Formeln setzen wir die InduktionsVoraussetzung Ak = 2k-1·A ein. Dann steht auf der linkenSeite der Gleichung 2k-1·A·A: Das Produkt A·A ist eine 2x2-Matrix mit 4 Zweien, also 2·A. Dann ist 2k-1·A·A = 2k-1·2·A= 2k·A.

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