x-Koordinaten der Berührungspunkte aller zu t parallelen Tangenten?

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Gegeben ist die Funktion f(x)=x^4-x^3-x^2+x

1. Wie lauten die x-Koordinaten der Berührungspunkte aller zu t parallelen Tangenten an den Graphen y=f(x) ?

2. Für welche Werte des Parameters c berühren sich die Kurven y=f(x) und  y=x^2+c ?

Gefragt 17 Sep 2012 von Anes

Hier sind die Lösungen.

Ich würde gerne wissen wie man auf diese kommt .. also mit rechenweg und soo .. Danke !!!
 

@ Redaktion. Bitte Link zu vollständiger Aufgabe und Resultaten nicht entfernen. Dient zur Kontrolle. Danke.

1 Antwort

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Zur ersten Frage dieser Aufgabe

t ist offenbar schon berechnet als y = x        (Habe ich aus dem Link)

Die Steigung von t ist m=1

Jetzt brauchst du die Stellen (x-Werte), an denen 

 f(x)=x^4-x^3-x^2+x 

die Steigung 1 hat.

Plan

Deshalb: a) Ableiten.b)Ableitung = 1 setzen und diese x-Werte berechnen c)y-Koordinaten der Berühungspunkte bestimmen d) Geradengleichungen durch diese Punkte bestimmen (Für m die Zahl 1 verwenden)

Verstehst du das? Probier mal.

Beantwortet 17 Sep 2012 von Lu Experte C

Plan bei der zweiten Aufgabe:

Berühren heisst: 

a) Ein gemeinsamer Punkt.

b) Gleiche Steigung in diesem Punkt.

Deshalb 

 a)      x^4-x^3-x^2+x  = x^2+c

b)      4x^3 -  2x^3 - 2x + 1 = 2x

Hier kann man vermutlich aus b) x-Werte der Berühnungspunkte berechnen. Fatorisierung ist wohl nicht evident. Vielleicht braucht's Numerik; z.B. Newtonverfahren.

Die x-Werte dann in a) benutzen um c zu berechnen. 

 

Jaa Danke Lu .. Alles verstanden mein hilfsbereiter "Freund" .. und könntest du mir möglicherweise auch die zweite Frage erklären .. ? :) Bitte ..^^
mhh schwierig nachzuvollziehen .. kannste es vielleicht vorrechnen Lu .. ?? wär echt nett :)

 

 a) x^4-x^3-x^2+x  = x^2+c

Daraus bekommt man die Formel für c, falls man die x-Werte hat.

x^4-x^3-2 x^2+x  = c

Ja richtig! Bei der Ableitung für f(x) links stimmt etwas nicht! Besser ist:

b) 4x^3 - 3x^2 -2x + 1 = 2x             |-2x

4x^3    -   3x^2 - 4x + 1 = 0            Das kann ich nun nicht im Kopf faktorisieren und für das Newtonverfahren habe ich heute Nachmittag leider keine Zeit. - Vielleicht bis später. 

Hallo Anes,

Hallo Lu,

Wenn's Euch recht ist, mach ich einen Schritt weiter.

Den Lösungsweg hat Lu schon beschrieben, hier wären also noch die Nullstellen der Gleichung

4x^3    -   3x^2 - 4x + 1 = 0

(Es gibt ein Programm von Arndt Brünner, mit dem man die Nullstellen kubischer Gleichungen online bestimmen kann: https://www.matheretter.de/formeln/algebra/polynomgleichung/?a3=4&a2=-3&a1=-4&a0=1

x1 = -0,82632054
x2 = 0,22366884
x3 = 1,3526517

Jetzt in die Gleichung von a) einsetzen und damit die c1-3 bestimmen

 

@ Capricorn: Besten Dank. Das ist bequemer.

@ Anes: falls du unbedingt rechnen musst: https://www.mathelounge.de/1560/wie-bestimmt-man-naherungsweise-losungen-dieser-gleichung?show=1561#a1561 erklärt das Newtonverfahren an einem andern Beispiel. Das kannst du bestimmt nachvollziehen und nachmachen.
Danke Capricorn

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