Gib die Lösungen folgender Gleichungen an:
a) 3^{2x} = 3^{x-1}
b) 5 x 2^{x} = 2 x 5^{x}
c) 3 x 4^{x} = 6 x 10^{x}
Hallo
zua)
(3^x)^2 = 3^ *3^{-1}
Substitution: z= 3^x
z^2 = z/3
z^2-z/3=0
z(z-1/3)=0
z_1=0 ->0= 3^x ->keine Lösung
z_2=1/3 ->3^{-1}= 3^x
->x=-1 als Lösung
a) 32x = 3x-1
3^{2x} = 3^{x-1}9^{x} = 3^{x}/39^{x}/3^{x} = 1/33^{x} = 1/3x = -1
b) 5 x 2x = 2 x 5x
5*2^x = 2*5^x2^x/5^x = 2/5(2/5)^x = 2/5x = 1
c) 3 x 4x = 6 x 10x
3*4^x = 6*10^x4^x/10^x = 6/3(4/10)^x = 2(2/5)^x = 2x = LN(2) / LN(2/5) = -0.7564707973
Hi, die Aufgabe b) finde ich am schönsten, hier gibt es auch folgenden Weg:
$$ 5 \cdot 2^x = 2 \cdot 5^x $$ist äquivalent zu
$$ 2^{x-1} = 5^{x-1} $$Potenzen mit verschiedener Basis sind genau dann gleich, wenn ihre Exponenten null sind, dies ist hier genau dann der Fall, wenn \(x=1\) ist.
Die Gleichung stimmt wenn2x = x - 1 istx = -1
b) 5 x 2x = 2 x 5x2^x / 5^x = 2 / 5( 2 / 5 )^x = 2 / 5x = 1
c) 3 x 4x = 6 x 10x4^x / 10^x = 6 / 3( 4 / 10) ^x = 20.4^x = 2x * ln ( 0.4 ) = ln ( 2)x = -0.75647
Ein anderes Problem?
Willkommen bei der Mathelounge! Stell deine Frage einfach und kostenlos