Gib die Lösungen folgender Gleichungen an:
a) 32x = 3x-1
b) 5 x 2x = 2 x 5x
c) 3 x 4x = 6 x 10x
Hallo
zua)
(3x)2 = 3^ *3-1
Substitution: z= 3x
z2 = z/3
z2-z/3=0
z(z-1/3)=0
z_1=0 ->0= 3x ->keine Lösung
z_2=1/3 ->3-1= 3x
->x=-1 als Lösung
32x = 3x-19x = 3x/39x/3x = 1/33x = 1/3x = -1
5*2x = 2*5x2x/5x = 2/5(2/5)x = 2/5x = 1
3*4x = 6*10x4x/10x = 6/3(4/10)x = 2(2/5)x = 2x = LN(2) / LN(2/5) = -0.7564707973
Hi, die Aufgabe b) finde ich am schönsten, hier gibt es auch folgenden Weg:
5⋅2x=2⋅5x 5 \cdot 2^x = 2 \cdot 5^x 5⋅2x=2⋅5xist äquivalent zu
2x−1=5x−1 2^{x-1} = 5^{x-1} 2x−1=5x−1Potenzen mit verschiedener Basis sind genau dann gleich, wenn ihre Exponenten null sind, dies ist hier genau dann der Fall, wenn x=1x=1x=1 ist.
Die Gleichung stimmt wenn2x = x - 1 istx = -1
b) 5 x 2x = 2 x 5x2x / 5x = 2 / 5( 2 / 5 )x = 2 / 5x = 1
c) 3 x 4x = 6 x 10x4x / 10x = 6 / 3( 4 / 10) x = 20.4x = 2x * ln ( 0.4 ) = ln ( 2)x = -0.75647
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