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Gib die Lösungen folgender Gleichungen an:

a) 32x = 3x-1

b) 5 x 2x = 2 x 5x

c) 3 x 4x = 6 x 10x

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Hallo

zua)

(3x)2 = 3^ *3-1

Substitution: z= 3x

z2 = z/3

z2-z/3=0

z(z-1/3)=0

z_1=0 ->0= 3x ->keine Lösung

z_2=1/3 ->3-1= 3x


->x=-1 als Lösung

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a) 32x = 3x-1 

32x = 3x-1
9x = 3x/3
9x/3x = 1/3
3x = 1/3
x = -1

b) 5 x 2x = 2 x 5x

5*2x = 2*5x
2x/5x = 2/5
(2/5)x = 2/5
x = 1

c) 3 x 4x = 6 x 10x

3*4x = 6*10x
4x/10x = 6/3
(4/10)x = 2
(2/5)x = 2
x = LN(2) / LN(2/5) = -0.7564707973

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Hi, die Aufgabe b) finde ich am schönsten, hier gibt es auch folgenden Weg:

52x=25x 5 \cdot 2^x = 2 \cdot 5^x ist äquivalent zu

2x1=5x1 2^{x-1} = 5^{x-1} Potenzen mit verschiedener Basis sind genau dann gleich, wenn ihre Exponenten null sind, dies ist hier genau dann der Fall, wenn x=1x=1 ist.

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a) 32x = 3x-1

Die Gleichung stimmt wenn
2x = x - 1 ist
x = -1

b) 5 x 2x = 2 x 5x
2x / 5x  = 2 / 5
( 2 / 5 )x = 2 / 5
x = 1

c) 3 x 4x = 6 x 10x
4x / 10x = 6 / 3
( 4 / 10) x = 2
0.4x = 2
x * ln ( 0.4 ) = ln ( 2)
x = -0.75647

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