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Sei K ein endlicher Körper. Dann enthält K einen Teilkörper mit p Elementen
für eine Primzahl p.

und

Gibt es einen Ringhomomorphismus Fp → Fq für zwei Primzahlen p ≠ q?


Danke

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push

push

!!!!!!!!!!!!!!!!!!!

Was heißt denn Push?

1 Antwort

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1. Die von 1 erzeugte Untergruppe von \((K,+)\), also \(F:=<1>\)

ist endlich. Sei \(p\) ihre Ordnung \(p=|F|\).

Wäre \(p=r\cdot s\) mit \(1\lt r,s\lt p\), dann hätte man

\88r\cdot 1)(s\sdot 1)=p\cdot 1=0\), \(K\) hätte also Nullteiler und wäre

damit kein Körper. \(p\) muss also eine Primzahl sein.

Da damit \(F_p:=F\) ein Integritätsbereich ist und endliche

Integritätsbereiche Körper sind, folgt die Behauptung.

2. Gäbe es einen Ringhomomorphismus \(f:F_p\rightarrow F_q\) mit

Primzahlen \(p\neq q\), dann wäre \(Kern(f)\) ein Ideal von \(F_p\).

Körper beitzen nur ein echtes Ideal, nämlich \((0)\). Damit wäre \(f\)

injektiv, d.h. \(f(F_p,+)\) eine Untergruppe von \((F_q,+)\),

nach Lagrange wäre dann aber \(p\) ein Teiler von \(q\),

was unsinnig ist.

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