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Hallo

meine aufgabe ist es : zeigen sie, dass die folge an konvergiert.

an= ∑k=1 bis n  1/k! ... Zeigen sie zunächst, dass für alle n e N gilt: ∑ k=1 bis n  1/k!  <=  2-1/n


Könnt ihr mir vielleicht weiterhelfen und zeigen wie man an so eine Aufgabe rangeht .. Ist ganz neu für mich und komme leider net weiter..


Mfg

von

1 Antwort

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Das erste zeigst du am besten durch vollst. Induktion über n:

für n=1  wäre das     1/ 1!   ≤    2 -   1/1    also  1 ≤1 stimmt.
falls es für n gilt, dann Summe bis n+1 =
                Summe bis n  +   1 / (n+1)!             Jetzt die Ind. vor
          ≤    2 - 1/n   +   1 / (n+1)!
und jetzt muss man zeigen, dass dieses ≤  2 - 1/(n+1) ist.
also:     2 - 1/n   +   1 / (n+1)!   ≤  2 - 1/(n+1) 
                                 1 / (n+1)!   ≤  1/n  - 1/(n+1) 
                                      1 / (n+1)!   ≤  ( (n+1)  - n  )/  (n *(n+1)  )
                                      1 / (n+1)!   ≤  1 /  (n *(n+1)  )
und das ist ja sicherlich wahr für alle n.

wenn nun also an ≤ 2 - 1/n    ist an also eine monoton wachsende Folge (kommt ja
immer ein positiver Summand dazu) , die beschränkt ist (alle kleiner gleich 2).
Also konvergent.



von 229 k 🚀

Bild Mathematik Hallo

Habe das ma versucht

Meinst du das vielleicht so??

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