Logistisches Wachstum eines Fischbestandes.

Question

2. In den Teichen einer Fischzuchtanlage werden zu Beginn des Jahres 2006 ca. 1200 Fische gezählt.
Solange sich die Fische ungestört vermehren können, kann die Entwicklung des Fischbestandes durch die Gleichung

f'(t) = 0,015 • f(t) • (4000-f(t)) t in Jahren ab 2006 beschrieben werden.

Wie viele Fische sind 4 Jahre später vorhanden? Antwort: 4000 was ich nicht verstehe, weil dass doch auch die Sättigungsgrenze ist

Von welchem maximalen Bestand kann man ausgehen? -> Meint das hier die Sättigungsgrenze?

b) Beschreiben Sie die weitere Entwicklung des Fischbestandes bis zum Jahre 2015 wenn ab 2010 am Ende jeden Jahres 300 Fische abgefischt werden.

ich hab dafür den bestand im jahr 2010 also die 4000 minus 300 genommen und den wert als den neuen Anfangswert für die neue Entwicklung genommen der rest bleibt in der formel gleich nur das die zählung für t in jahren bei 2010 anfängt und f(1) dann den bestand im jahr 2011 beschreibt. der wird dann wieder minus 300 genommen und dann macht man das von vorne ..

bei mir kam mit f(0) = 370 für 2011 also f(1) wieder 4000 raus deshalb müsste ja die Entwicklung trotz abfischen immer die Sättigungsgrenze betragen, was ja eigentlich schon mathematisch nicht sein kann, da die sättigungsgrenze doch nie wirklich erreicht wird und doch nur einen grenzwert bildet...

bitte um schnelle hilfe

Schreibe bald mathe eA

Gruß

Answer 1

Hi,

die Lösungsfunktion lautet ja
$$ f(t) = G \cdot \frac{1}{1 + e^{-k \cdot G \cdot t \cdot \left( \frac{G}{f(0) - 1}  \right)}} $$
Der Term $$ e^{-k \cdot G \cdot t} $$ wird für \( t = 4 \) zwar nicht Null aber sehr klein. Damit konvergiert der Bestand gegenn die Sättigungsgrenze \( G \).
Der maximale Bestand ist die Sättigungsgrenze, da hast Du Recht. Das liegt daran, dass das Wachstum monoton wächst, der Nenner der Lösungsfunktion aber für große \( t \) gegen \( 1 \) geht, also insgesamt konvergiert das Wachstum damit gegen die Sättigungsgrenze \( G \)

Comments

das heißt dann das in der weiteren Entwicklung ab 2010 der Fischbestand immer 4000 beträgt ?