Logistisches Wachstum? Fischzuchtanlage mit 1200 Fischen zu Beginn von 2006.

Question

Wie soll das  gehen  ? Das ist  eine  komische Funktion. .wie  soll iCh das machen?  Es  ist ja die  Ableitung gegeben. .

Kann mir jemand bitte  helfen  ? Schritt für Schritt erklären?  Danke 

Answer 1

Hier mal der erste Teil:

Wir haben hier eine gewöhnliche Differentialgleichung.

$$f'(t)=0.015\cdot f(t)\cdot 4000 - 0.015\cdot f(t)^2=60 \cdot f(t) - 0.015\cdot f(t)^2$$

Trennung der Variablen:

$$\frac{f'(t)}{60 \cdot f(t) - 0.015\cdot f(t)^2}=1$$

Integrieren:

$$\int\frac{f'(t)}{60 \cdot f(t) - 0.015\cdot f(t)^2}\text dt=\int1\text dt+C$$

Substitution: $$[f(t)=y \Rightarrow f'(t)\text dt=\text dy]$$

$$\int\frac{1}{60 \cdot y - 0.015\cdot y^2}\text dy=t+C$$

Nenner faktorisieren:

$$\int\frac 1y\cdot\frac{1}{60 - 0.015\cdot y}\text dy=t+C$$

Partialsummenzerlegung:

$$[\frac 1y\cdot\frac{1}{60 - 0.015\cdot y} = \frac Ay + \frac{B}{60 - 0.015\cdot y} \Leftrightarrow A=\frac 1{60}, B=\frac {0.015}{60}=\frac 3{12000}]$$

Also:

$$\int\frac 1y\cdot\frac{1}{60 - 0.015\cdot y}\text dy=t+C \Leftrightarrow$$

$$\int\frac 1{60y}+\frac{3}{12000(60 - 0.015\cdot y)}\text dy=t+C$$

Erstes Integral:

$$\frac 1{60}\ln(|y|)-\int\frac{3}{12000(0.015\cdot y-60)}\text dy=t+C$$

Zweites Integral:

$$\frac 1{60}\ln(|y|)-\frac{3}{12000}\frac{\ln(|0.015\cdot y-60|)}{0.015}=t+C$$

Vereinfachen:

$$\frac 1{60}\ln(|y|)-\frac{1}{60}\ln(|0.015\cdot y-60|)=t+C$$

Beide Seiten mal 60:

$$\ln(|y|)-\ln(|0.015\cdot y-60|)=60t+C_2$$

Logarithmusregel:

$$\ln\left(\frac{|y|}{|0.015\cdot y-60|}\right)=60t+C_2$$

Der Fischbestand ist positiv, deshalb kann man die Betragsstriche um y weglassen:

$$\ln\left(\frac{y}{|0.015\cdot y-60|}\right)=60t+C_2$$

Entlogarithmieren:

$$\frac{y}{|0.015\cdot y-60|}=\exp(60t+C_2)$$

Bruch umschreiben:

$$\frac{1}{\frac{|0.015\cdot y-60|}{y}}=\exp(60t+C_2)$$

In den Betrag hineinziehen:

$$\frac{1}{|0.015-\frac{60}y|}=\exp(60t+C_2)$$

Kehrwert bilden:

$$|0.015-\frac{60}y|=\exp(-60t-C_2)$$

Betrag auflösen:

$$0.015-\frac{60}y=\pm \exp(-60t-C_2)$$

Plusminus und e^{Konstante} bilden zusammen eine neue beliebige Konstante:

$$\frac{60}y= C_3\cdot\exp(-60t)+0.015$$

Letzte Umformung und Rücksubstitution:

$$y=f(t)=\frac{60}{0.015 + C_3\cdot e^{-60t}}$$

Noch den Anfangswert einsetzen:

$$f(0)=\frac{60}{0.015 + C_3}=1200$$

$$\frac{1}{0.015 + C_3}=20$$

$$\frac{1}{20}=0.015 + C_3$$

$$\frac{1}{20}-0.015=C_3$$

$$C_3=0.05-0.015=0.035$$

$$f(t)=\frac{60}{0.015 + 0.035\cdot e^{-60t}}$$

Comments

Aber da steht kein f(t)² 

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Nach vier Jahren hat man f(4) Fische, also:

$$f(4)=\frac{60}{0.015+0.035\cdot e^{-240}}\approx4000$$

Die Anzahl der Fische ist mit 4000 begrenzt, da f(t) nie größer werden kann als 60/0.015 (wenn der Term e^{-60t} Null wäre). Für t=4 ist der Wert bereits so nahe an 4000, dass der Taschenrechner bzw. Geogebra bereits keinen Unterschied mehr erkennen kann (auf 15 Dezimalstellen, also auf "ein Billiardstel Fisch" genähert). Das ist so, weil e^{-60t} immer positiv und für jedes positive t kleiner als 1 ist und für t gegen unendlich gegen Null strebt. Ein Bruch mit konstantem Zähler wie 60/(0.015+0.035*e^{-60t}) wird ja maximal, wenn der Nenner minimal wird, und das ist für t gegen unendlich der Fall.

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$$f'(t)=0.015\cdot f(t)\cdot (4000-f(t))=0.015\cdot f(t)\cdot 4000 - 0.015 \cdot f(t) \cdot f(t)$$

Klammer auflösen.

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Das mit der Substitution ist zu kompliziert dargestellt . Kann man das nicht irgendwie anders lösen?

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Hab gerade auf Wikipedia nachgeschaut unter "Logistische Funktion": Die haben das auch so gelöst. Kannst dir ja deren Lösung mal anschauen.

Bei der Substitution wird diese Regel benutzt: $$\int g(f(t))\cdot f'(t)\text dt = \int g(f)\text df,$$ oder in einfachen Worten: Wenn du in einem Integral nach t einen Ausdruck f'(t) mal einem anderen Ausdruck stehen hast, kannst du f'(t) weglassen und dt durch df(t) ersetzen. Damit da nicht df(t) steht, habe ich f(t)=y genannt, dann steht da dy.