Induktionsbeweis der Ungleichung: 2/((n+1)*pi) <= (-1)^n * integral( sin(x)/x ) <= 2/(n*pi)

Question

$$ Sei\quad f:\quad [0,\infty )\quad \rightarrow \quad R\quad definiert\quad durch:\\ f\left( x \right) :=\quad \frac { \sin { (x) }  }{ x } \quad ,\quad für\quad x \neq 0\\ \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \\ \quad \quad \quad \quad \quad \quad 1\quad, \quad \quad für\quad x=0\\ \\ $$

Beweisen Sie: f ist stetig und folgende Ungleichung gilt für alle n aus N:

$$\ \\ \frac { 2 }{ (n+1)π }\quad \le \quad { (-1) }^{ n }\int _{ nπ }^{ (n+1)π }{ f(x)\quad dx\quad  } \le \quad \frac { 2 }{ nπ } $$

Die Stetigkeit hab ich bereits mit Hilfe von l'Hôpital bewiesen, allerdings scheitert mein Induktionsschritt jetzt an der Auflösung des Integrals, weil mir die Stammfunktion zum einsetzen der beiden Grenzen fehlt.

Wär für jeden Hinweis dankbar!

Answer 1

2/(n·pi + pi) ≤ (-1)^n·∫ (n·pi bis n·pi + pi) (SIN(x)/x) dx

Ich soll ja zeigen das das Integral größer ist. also kann man es evt. kleiner machen. D.h. ich erhöhe den Nenner

2/(n·pi + pi) ≤ (-1)^n·∫ (n·pi bis n·pi + pi) (SIN(x)/(n·pi + pi)) dx

Nun ist der Nenner konstant und ich kann ihn vor das Integral ziehen

2/(n·pi + pi) ≤ (-1)^n/(n·pi + pi)·∫ (n·pi bis n·pi + pi) (SIN(x)) dx

2/(n·pi + pi) ≤ (-1)^n/(n·pi + pi)·(- COS(n·pi + pi) + COS(n·pi))

2/(n·pi + pi) ≤ (-1)^n/(n·pi + pi)·(COS(n·pi) - COS(n·pi + pi))

Benutze COS(z + pi) = - COS(z)

2/(n·pi + pi) ≤ (-1)^n/(n·pi + pi)·(COS(n·pi) + COS(n·pi))

2/(n·pi + pi) ≤ (-1)^n/(n·pi + pi)·2·COS(n·pi)

2/(n·pi + pi) ≤ 2/(n·pi + pi)·(-1)^n*COS(n·pi)

Benutze (-1)^n*COS(n·pi) = 1

2/(n·pi + pi) ≤ 2/(n·pi + pi)

Genau so dürftest du das auch für die rechte Seite zeigen. Und da habe ich jetzt nicht mal die vollständige Induktion gebraucht.