Ergänzungsheft zur schrittlichen Abiturprüfung im Fach Mathematik
Lineare Algebra 1 - Probeklausur:
In einem System verteilt sich ein Gesamtbestand auf die Zustände \( A \) und \( B \). Die Verteilung wird durch Zustandsvektoren \( \left(\begin{array}{l}x_{A} \\ x_{B}\end{array}\right) \) beschrieben. Pro Zeiteinheit finden zwischen den Zuständen die in der Abbildung 6 dargestellten Übergänge statt.
a) Geben Sie die zugehörige Übergangsmatrix \( M \) an.
Bestimmen Sie die Matrix \( N \), die die Übergänge in zwei aufeinanderfolgenden Zeiteinheiten zusammenfassend beschreibt.
b) Für große natürliche Zahlen \( n \) nähert sich die Potenz \( M^{n} \) der Matrix \( G=\left(\begin{array}{cc}\frac{5}{8} & \frac{5}{8} \\ \frac{3}{8} & \frac{3}{8}\end{array}\right) \).
Zeigen Sie mithilfe der Matrix \( G \), dass sich für große natürliche Zahlen \( n \) der Startvektor ...
Lösungen:
a) Aus dem Übergangsgraphen ergibt sich \( M=\left(\begin{array}{ll}0,4 & 1 \\ 0,6 & 0\end{array}\right) \)
Es ist \( N=M^{2}=\left(\begin{array}{ll}0,4 & 1 \\ 0,6 & 0\end{array}\right) \cdot\left(\begin{array}{ll}0,4 & 1 \\ 0,6 & 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}0,4^{2}+1 \cdot 0,6 & 0,4 \cdot 1 \\ 0,6 \cdot 0,4 & 0,6 \cdot 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ll}0,76 & 0,4 \\ 0,24 & 0,6\end{array}\right) \)
b) Sei \( \vec{v}_{n} \) der Bestandsvektor nach \( n \) Zeitschritten. Dann gilt:
\( \vec{v}_{n}=G \cdot \vec{v}_{0}=\left(\begin{array}{cc}\frac{5}{8} & \frac{5}{8} \\ \frac{3}{8} & \frac{3}{8}\end{array}\right) \cdot\left(\begin{array}{c}10 \\ 6\end{array}\right) \)
\( = \left(\begin{array}{c}\frac{5}{8} \cdot 10+\frac{5}{8} \cdot 6 \\ \frac{3}{8} \cdot 10+\frac{3}{8} \cdot 6\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}\frac{50}{8}+\frac{30}{8} \\ \frac{30}{8}+\frac{18}{8}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}\frac{80}{8} \\ \frac{48}{8}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}10 \\ 6\end{array}\right)=\vec{v}_{0} \)
Damit ist das zu Zeigende gezeigt.
