0 Daumen
440 Aufrufe

Ergänzungsheft zur schrittlichen Abiturprüfung im Fach Mathematik

Lineare Algebra 1 - Probeklausur:


In einem System verteilt sich ein Gesamtbestand auf die Zustände \( A \) und \( B \). Die Verteilung wird durch Zustandsvektoren \( \left(\begin{array}{l}x_{A} \\ x_{B}\end{array}\right) \) beschrieben. Pro Zeiteinheit finden zwischen den Zuständen die in der Abbildung 6 dargestellten Übergänge statt.

a) Geben Sie die zugehörige Übergangsmatrix \( M \) an.

Bestimmen Sie die Matrix \( N \), die die Übergänge in zwei aufeinanderfolgenden Zeiteinheiten zusammenfassend beschreibt.

b) Für große natürliche Zahlen \( n \) nähert sich die Potenz \( M^{n} \) der Matrix \( G=\left(\begin{array}{cc}\frac{5}{8} & \frac{5}{8} \\ \frac{3}{8} & \frac{3}{8}\end{array}\right) \).

Zeigen Sie mithilfe der Matrix \( G \), dass sich für große natürliche Zahlen \( n \) der Startvektor ...


Lösungen:

a) Aus dem Übergangsgraphen ergibt sich \( M=\left(\begin{array}{ll}0,4 & 1 \\ 0,6 & 0\end{array}\right) \)
Es ist \( N=M^{2}=\left(\begin{array}{ll}0,4 & 1 \\ 0,6 & 0\end{array}\right) \cdot\left(\begin{array}{ll}0,4 & 1 \\ 0,6 & 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}0,4^{2}+1 \cdot 0,6 & 0,4 \cdot 1 \\ 0,6 \cdot 0,4 & 0,6 \cdot 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ll}0,76 & 0,4 \\ 0,24 & 0,6\end{array}\right) \)

b) Sei \( \vec{v}_{n} \) der Bestandsvektor nach \( n \) Zeitschritten. Dann gilt:

\( \vec{v}_{n}=G \cdot \vec{v}_{0}=\left(\begin{array}{cc}\frac{5}{8} & \frac{5}{8} \\ \frac{3}{8} & \frac{3}{8}\end{array}\right) \cdot\left(\begin{array}{c}10 \\ 6\end{array}\right) \)

\( = \left(\begin{array}{c}\frac{5}{8} \cdot 10+\frac{5}{8} \cdot 6 \\ \frac{3}{8} \cdot 10+\frac{3}{8} \cdot 6\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}\frac{50}{8}+\frac{30}{8} \\ \frac{30}{8}+\frac{18}{8}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}\frac{80}{8} \\ \frac{48}{8}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}10 \\ 6\end{array}\right)=\vec{v}_{0} \)

Damit ist das zu Zeigende gezeigt.

von

1 Antwort

0 Daumen

Du musst in der Übergangsmatrix die Werte umgekehrt eintragen.

Von Zeile A nach Spalte B ist der Wert 1.

Von Zeile B nach Spalte A ist der Wert 0.6.

Jetzt diese Matrix mit sich selbst multiplizieren.

Dann ist a) fertig.

b) ist nicht vollständig zu sehen.

Offenbar sollst du zeigen, dass A = 10, B = 6 als Anfangsbestand nach sehr vielen Schritten wieder

A = 10 und B = 6 ergibt.

von 162 k 🚀

Kannst du es mir irgendwie verbildlichen bitte? Ich kann mir das grad nicht so vorstellen, wie du das meinst. Tut mir Leid. ( Ich meine dass mit der Übergangsmatrix)

Bild Mathematik

Jetzt die roten Zahlen in dieser Anordnung in die Matrix eintragen. Rechts unten noch eine 0 ergänzen.

Ein anderes Problem?

Stell deine Frage

Willkommen bei der Mathelounge! Stell deine Frage einfach und kostenlos

x
Made by a lovely community