Lineare Abhängigkeit Untervektorräume

Question

Aufgabe:

Es seien ein Körper \( K \), ein endlichdimensionaler \( K \)-Vektorraum \( V \) und \( K \)-Untervektorräume \( U \) und \( U^{\prime} \) von \( V \) mit \( V=U+U^{\prime} \) gegeben. Ferner seien \( n, n^{\prime} \in \mathbb{N}_{0} \), ein \( n \)-Tupel \( \left(s_{1}, \ldots, s_{n}\right) \) in \( U \) und ein \( n^{\prime} \)-Tupel \( \left(s_{1}^{\prime}, \ldots, s_{n^{\prime}}^{\prime}\right) \) in \( U^{\prime} \) gegeben.

Ansatz/Problem:

Wenn (s1, ... ,sn) linear abhängig in U und (s'1, ... s'n') linear abh. in U' ist, ist dann (s1, ... ,sn,s'1, ... s'n') eine Basis von V?

Answer 1

Die beiden n-Tupel können doch durchaus ein gemeinsames
Element haben, ist ja keine direkte Summe.
Deshalb muss das keine Basis geben.

Comments

und wie sehe es aus wenn die beiden n-tupel jeweils eine Basis von U bzw. U' wären, ist dann (s1, ... ,sn,s'1, ... s'n') auch eine Basis von V?

---

Auch nicht, das ist nur bei einer direkten Summe so.

Nimm z.B. in R^3 die Unterräume der Vektoren von der Art

U1: (a;b;0) und

U2: ( 0;x;y)

Dann ist U1 +U2 = R^3 da jeder von R^3 sich als Summe zweier solcher darstellen läßt.

(0;1;0)  (1;0;0) Basis von U1

(0;0;1)  (0;1;0) Basis von U2 aber die vier sind lin. abh.