Aufgabe:
Sei K K K ein Körper und A∈GLn(K). A \in G L_{n}(K) . A∈GLn(K). Seien r0,…,rn∈K r_{0}, \ldots, r_{n} \in K r0,…,rn∈K sodass für das charakteristische Polynom PA(t) P_{A}(t) PA(t) von A A A gilt PA(t)=rntn+rn−1tn−1+…+r0 P_{A}(t)=r_{n} t^{n}+r_{n-1} t^{n-1}+\ldots+r_{0} PA(t)=rntn+rn−1tn−1+…+r0 für alle t∈K t \in K t∈K.
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PA−1(t)=(−1)n(detA)−1(rn+rn−1t+…+r0tn) P_{A^{-1}}(t)=(-1)^{n}(\operatorname{det} A)^{-1}\left(r_{n}+r_{n-1} t+\ldots+r_{0} t^{n}\right) PA−1(t)=(−1)n(detA)−1(rn+rn−1t+…+r0tn)
Hi,es giltA−1−λI=(−λ)(I−1λA−1)=(−λ)(A−1λI)A−1 A^{-1} - \lambda I = (-\lambda) \left( I - \frac{1}{\lambda}A^{-1} \right) = (-\lambda) \left(A - \frac{1}{\lambda}I \right)A^{-1} A−1−λI=(−λ)(I−λ1A−1)=(−λ)(A−λ1I)A−1Deshalb giltPA−1(λ)=(−λ)n⋅det(A)−1⋅PA(1λ)=(−1)n⋅det(A)−1⋅∑k=0nrkλn−k P_{A^{-1}}(\lambda) = (-\lambda)^n \cdot \det(A)^{-1} \cdot P_A\left( \frac{1}{\lambda}\right) = (-1)^n \cdot \det(A)^{-1} \cdot \sum_{k=0 }^n r_k \lambda^{n-k} PA−1(λ)=(−λ)n⋅det(A)−1⋅PA(λ1)=(−1)n⋅det(A)−1⋅k=0∑nrkλn−k was zu beweisen war.
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