Charakteristisches Polynom Beweis

Question

Wie soll man das zeigen, könnt ihr mir helfen?

Answer 1

Hi,
es gilt
$$ A^{-1} - \lambda I = (-\lambda) \left( I - \frac{1}{\lambda}A^{-1} \right) = (-\lambda) \left(A - \frac{1}{\lambda}I \right)A^{-1}  $$
Deshalb gilt
$$ P_{A^{-1}}(\lambda) = (-\lambda)^n \cdot \det(A)^{-1} \cdot P_A\left(  \frac{1}{\lambda}\right) = (-1)^n \cdot \det(A)^{-1} \cdot \sum_{k=0 }^n r_k \lambda^{n-k} $$ was zu beweisen war.