0 Daumen
237 Aufrufe

Aufgabe: Cayley-Hamilton Satz

Hallo Leute,

mir geht es um den Cayley-Hamilton Satz; genauer gesagt um einen passenden Beweis. Dabei geht es mir nicht um den Beweis im Ganzen, sondern lediglich um einen ganz bestimmten Teil. Ich würde gerne verstehen, wie man darauf kommt, dass die Determinante der rechten Matrix durch die darunter stehende Formel berechnet werden kann. Habe es mit Entwicklung nach Zeile/Spalte probiert und auch schon mit dem Leibniz Verfahren. Leider komme ich immer wieder durcheinander und nicht zum Ziel.


\( M_{f}=\left(\begin{array}{cccccc}0 & 0 & 0 & \ldots & 0 & c_{0} \\ 1 & 0 & 0 & \ldots & 0 & c_{1} \\ 0 & 1 & 0 & \ldots & 0 & c_{2} \\ \vdots & & \ddots & \vdots & 0 & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & \ldots & 1 & c_{l-1}\end{array}\right) \Rightarrow \chi_{f}(x)=\left|\begin{array}{cccccc}-x & 0 & 0 & \ldots & 0 & c_{0} \\ 1 & -x & 0 & \ldots & 0 & c_{1} \\ 0 & 1 & -x & \ldots & 0 & c_{2} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & -x & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & \ldots & 1 & c_{l-1}-x\end{array}\right| \)

\( \chi_{f}(x)=(-1)^{l}\left(x^{l}+\sum \limits_{k=0}^{l-1}\left(-c_{k}\right) x^{k}\right) \)

Avatar von

Man nutzt Induktion und entwickelt nach der ersten Zeile:

\( \left|\begin{array}{cccccc}-x & 0 & 0 & \ldots & 0 & c_{0} \\ 1 & -x & 0 & \ldots & 0 & c_{1} \\ 0 & 1 & -x & \ldots & 0 & c_{2} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & -x & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & \ldots & 1 & c_{l-1}-x\end{array}\right| \\ = (-1)^{1+1} \cdot (-x) \cdot \left|\begin{array}{cccccc}-x & 0 & 0 & \ldots & 0 & c_{1} \\ 1 & -x & 0 & \ldots & 0 & c_{2} \\ 0 & 1 & -x & \ldots & 0 & c_{3} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & -x & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & \ldots & 1 & c_{l-1}-x\end{array}\right| + (-1)^{1+l} \cdot c_0 \cdot \left|\begin{array}{cccccc} 1 & -x & 0 & \ldots & 0 \\ 0 & 1 & -x & \ldots & 0  \\ \vdots & \vdots & \ddots & \ddots & -x \\ 0 & 0 & 0 & \ldots & 1 \end{array}\right| \)

Auf dieser erste Determinante kann man dann die IV anwenden, die zweite ist = 1

muchos gracias !! :)

Ein anderes Problem?

Stell deine Frage

Willkommen bei der Mathelounge! Stell deine Frage einfach und kostenlos

x
Made by a lovely community