Folgende Ungleichung ist aufzulösen:
\( \frac{e^{2}}{(n+1) !} 2^{n+1} \leq 0.01 \)
Ansatz/Problem:
Hat vielleicht jemand einen Lösungsansatz? Komme irgendwie nicht drauf wie ich alle n auf eine seite bekomm.
e^2 / (n + 1)! · 2^{n + 1} ≤ 0.01
2^{n + 1} / (n + 1)! ≤ 1/(100·e^2)
(n + 1)!/2^{n + 1} ≥ 100·e^2
Subst. m = n + 1
m! / 2^m ≥ 100·e^2
m! / 2^m - 100·e^2 ≥ 0
Hier kann man jetzt für m mal ein paar Werte probieren.
Ich komme auf m = 10 bzw. n = 9
Das könnte man jetzt noch per Induktion beweisen.
Wenn das eine Art Beweis (Vorstufe zur Epsilon-Methode) sein soll, dass du es links mit einer Nullfolge zu tun hast, musst da das als solches kennzeichnen. Da genügen grobe Abschätzungen.
In der Rechnung benutzt du e^2 deren Wert du noch gar nicht kennst ?
Sollte man das nicht lieber mit einer Restgliedabschätzung bei dem Taylorpolynom machen?
Man entwickelt ja sicher e^x an der Stelle 0.
Die Taylorabschätzung macht man ja gerade dann, wenn es zu mühsam ist e^2 exakt auszurechnen. Wenn man einen TR hat und einfach nur e^2 eintippen braucht dann kann man sich die Taylorabschätzung auch gleich schenken :)
Wie gesagt. Es geht hier sicher um eine Restgliedabschätzung. Das ist eigentlich meistens gefragt wenn es um Taylorpolynome geht.
$$ln( \frac{2^m}{m!}) $$$$ln( {2^m})-ln( {m!}) $$$$m \cdot ln( {2})-\sum_{k=1}^m \ln( {k}) $$
Hi, damit ist die Ungleichung aber noch nicht nach \( n \) aufgelöst denn in der Summe ist die Unbekannte ja auch noch enthalten.. Ich würde es numerisch machen.
Für die Summe gab es glaubich eine Formel ... oder nicht ?
Im übrigen ist das keine komplette Aufgabenlösung, sondern ein Nachdenkhinweis, wie man die Aufgabe bearbeiten könnte!
$$\ln ( a \cdot b \cdot c \cdot \cdots ) = \ln ( a)+\ln ( b)+\ln ( c)+ \cdots $$
1 ggf. über vollständige Induktion
Ein anderes Problem?
Willkommen bei der Mathelounge! Stell deine Frage einfach und kostenlos