Flächeninhalt einer Ellipse mit gegebenen Punkt berechnen?

Question

Also die Aufgabenstellung bezieht sich auf welche der Ellipsen die durch den Punkte (3;1) gehen hat den kleinsten Flächeninhalt, mit Nachweis des minimums.   Gegeben: (x^2/a^2)+(y^2/b^2)=1
Also mir ist bewusst dass ich entweder die Flächeninhalts Formel F=pi*a*b zu Verfügung habe und noch die Möglichkeit habe den Flächeninhalt durch Integration zu berechnen.
Jedoch habe ich bisher immer aufgaben mit den Halbachs gegeben berechnet oder mit der Exzentrizität gegeben bekommen.   
Ich wüsste jetzt nicht wo ich anfangen sollte da ich nicht weiss wie ich mit nur 1 Punkt, a und b berechnen kann.

Comments

da ich nicht weiss wie ich mit nur 1 Punkt, a und b berechnen kann.

Nur mit  der Angabe eines Punkts dürfte eine Berechnung nicht möglich
sein.

Answer 1

$$     A = \pi \cdot  a \cdot  b $$
Ellipse um den Koordinatenursprung: Mittelpunkt (0|0)
$$    \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$$
Punkt (3,1):
$$x=3 \, ;\, y=1 $$
Punktkoordinaten in die Ellipsengleichung einsetzen:
$$    \frac{3^2}{a^2} + \frac{1^2}{b^2} = 1$$
nach b auflösen:
$$    \frac{9}{a^2} + \frac{1}{b^2} = 1$$
$$    \frac{9 b^2}{a^2} + \frac{1}{1} = b^2$$
$$    {9 b^2} + {a^2} = a^2 b^2$$
$$    {9 b^2} -a^2 b^2+ {a^2} = 0$$
$$    { b^2} \cdot (9-a^2)+ {a^2} = 0$$
$$    { b^2} \cdot (9-a^2)=- {a^2} $$
$$    { b^2}  =- \frac{a^2}{9-a^2} $$
$$    { b^2}  = \frac{a^2}{a^2-9} $$
$$     b  = \pm \sqrt{\frac{a^2}{a^2-9}} $$
$$     b  = \pm \, a \cdot \sqrt{\frac{1}{a^2-9}} $$
Einsetzen in Flächengleichung:
$$     A = \pi \cdot  a \cdot  \pm \, a \cdot \sqrt{\frac{1}{a^2-9}}  $$
$$     A = \pi \cdot  a^2  \cdot (a^2-9)^{ - \,\frac12}  $$
$$     \frac{dA}{da} = \pi \cdot  \cdots $$