Positive Definitheit einer Matrix

Question

Ich habe eine Aufgabe, bei der ich die folgende Äquivalenz zeigen muss:
Sei \(A\in\mathbb{R}^{(n,n)}\) symmetrisch und
\(A_k=\begin{pmatrix} a_{11} & \cdots & a_{1k} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{k1} & \cdots & a_{kk} \end{pmatrix}\) mit \(k=1,\dotsc, n\) die Submatrizen.

Es gilt:

Die Hauptdeterminanten \(\det(A_k)\) sind für alle \(k=1,\dotsc,n\) positiv \(\iff\) A ist positiv definit

Die erste Implikation soll mit vollständiger Induktion und unter Verwendung der Cholesky-Zerlegung gezeigt werden.

Ich habe es versucht, aber ich komme bei dem Induktionsschritt leider nicht weiter.

Danke.

Answer 1

Induktionsschritt von k -->k+1 :

Erst mal was wir wissen :

A_k : -postiv definit, besitzt Cholesky-Zerlegung, LR-Zerlegung kann ohne Zeilenvertauschungen durchgeführt werden, det>0

A_k+1 :- det>0

Du musst zeigen, dass A_k+1 eine LR-Zerlegung ohne Zeilenvertauschungen hat. Dies folgt direkt, da du  ja eine "Untermatrix" A_k hast, die sich durch Gauss auf Dreiecksform bringen lässt und A_k+1 vollen Rang hat. Jetzt nimm L als normiert an (nur 1er auf Diagonalen). Wir wissen, dass R auf der Diagonalen von r₁₁ bis r_kk nur positive Einträge hat. Da det(A_k+1)>0 ist muss auch r_k+1k+1 positiv sein. Dann ist ja die Cholesky-Zerlegung möglich. Ab hier musst du, falls noch nicht aus Vorlesung bekannt, zeigen, dass aus Cholesky-Zerlegung positive definitheit folgt.