Summe einer Reihe ausrechnen

Question

Man soll von folgender Reihe die Summe bestimmen:

$$ \sum _ { k = 0 } ^ { \infty } \frac { ( - 1 ) ^ { k } } { ( 2 k + 1 ) ! } \left( \frac { \pi } { 2 } \right) ^ { 2 k + 3 } $$

Laut Lösung kommt (pi^2/4) raus.. Diese Reihe erinnert mich an die Sinusreihe, aber irgendwie stehe ich auf dem Schlauch.

Answer 1

$$sin(x)=\sum_{k=0}^\infty \frac{(-1)^k}{(2k+1)!}x^{2k+1}$$

https://de.wikipedia.org/wiki/Sinus_und_Kosinus#Motivation_durch_Taylorreihen

$$\sum_{k=0}^\infty \frac{(-1)^k}{(2k+1)!}\left(\frac{\pi}{2}\right)^{2k+3}=\sum_{k=0}^\infty \frac{(-1)^k}{(2k+1)!}\left(\frac{\pi}{2}\right)^{2k+1}\left(\frac{\pi}{2}\right)^{2}=sin\left(\frac{\pi}{2}\right)\left(\frac{\pi}{2}\right)^{2}=\left(\frac{\pi}{2}\right)^{2}=\frac{\pi^2}{4}$$